Arten von mathematischen Mengen
Es gibt verschiedene Arten von Mengen in der Mengenlehre. In der folgenden Tabelle haben wir einige davon zusammengestellt:
| Name | Beschreibung | Beispiele |
|---|---|---|
| Endliche Menge | Eine endliche Menge ist eine Menge, die eine begrenzte Anzahl von Elementen hat. | A = {a, e, i, o, u} B = {x | x ist ein Vokal} |
| Unendliche Menge | Eine unendliche Menge ist eine Menge, die eine unbegrenzte Anzahl von Elementen hat. | ℕ₀ = {0, 1, 2, 3, ...} (die Menge der natürlichen Zahlen). P = {x | x ist eine gerade ganze Zahl} (die Menge der geraden ganzen Zahlen). |
| Leere Menge | Die leere Menge, dargestellt durch { } oder Ø, ist diejenige Menge, die keine Elemente enthält. | Die Menge der Planeten, die den Mond umkreisen, ist Ø. Die Lösungsmenge der Gleichung x ⋅ 0 = 4 ist leer: Ø = {x | x ⋅ 0 = 4} |
| Singleton-Menge | Eine Singleton-Menge (oder Einermenge) ist eine Menge, die genau ein Element enthält. | A = {z} ist eine Singleton-Menge. Die Lösungsmenge der Gleichung 2 ⋅ x = 4 ist eine Singleton-Menge: {x | 2⋅x = 4} = {2} |
| Grundmenge | Die Grundmenge (oder das Universum) ist die Menge, die alle für einen bestimmten Kontext relevanten Elemente enthält. | Wenn man mit natürlichen Zahlen arbeitet, ist die Grundmenge die Menge aller natürlichen Zahlen: ℕ₀. Wenn man mit Dreiecken arbeitet, ist die Grundmenge die Menge aller Dreiecke. |
| Komplementärmenge | Das Komplement einer Menge A, symbolisiert als Aᶜ, ist die Menge aller Elemente der Grundmenge, die nicht in A enthalten sind. | Das Komplement der Menge der ungeraden ganzen Zahlen ist die Menge der geraden ganzen Zahlen. Das Komplement der Menge der gleichseitigen Dreiecke ist die Menge der Dreiecke, die nicht gleichseitig sind (gleichschenklige und ungleichseitige Dreiecke). |
| Potenzmenge | Die Potenzmenge einer Menge ist die Menge, die alle möglichen Teilmengen dieser ursprünglichen Menge enthält. | Die Potenzmenge von A = {a, b} ist P(A) = {Ø, {a}, {b}, {a, b}}. Die Potenzmenge von Ø ist P(Ø) = {Ø}. |
| Zahlenmengen | Die Zahlenmengen sind Mengen, die Zahlen mit bestimmten gemeinsamen Eigenschaften enthalten. | Natürliche Zahlen (N) Ganze Zahlen (Z) Rationale Zahlen (Q) Irrationale Zahlen (I) Reelle Zahlen (R) Komplexe Zahlen (C) |
| Teilmenge | Eine Menge A ist eine Teilmenge einer anderen Menge B, wenn alle Elemente von A auch in B enthalten sind. | Die Menge A = {Hund, Katze} ist eine Teilmenge von B = {Hund, Katze, Vogel}. Die Menge der natürlichen Zahlen N ist eine Teilmenge der ganzen Zahlen Z. |
| Echte Teilmenge | Eine Menge A ist eine echte Teilmenge von B, wenn alle Elemente von A auch in B enthalten sind, aber A ≠ B gilt. | A = {1, 2} ist eine echte Teilmenge von B = {1, 2, 3}. Die Menge der geraden ganzen Zahlen ist eine echte Teilmenge der ganzen Zahlen. |
| Gleichmächtige Mengen | Zwei Mengen sind gleichmächtig, wenn sie die gleiche Anzahl von Elementen haben (die gleiche Kardinalität besitzen). | Die Mengen A = {a, b, c} und B = {7, 8, 9} sind gleichmächtig, da sie die gleiche Anzahl an Elementen haben. Die Menge der Buchstaben des Wortes „Katze“ und die Menge der ganzen Zahlen von 1 bis 4 sind gleichmächtig, weil beide vier Elemente haben. |
| Gleiche Mengen | Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten, unabhängig von der Reihenfolge. | Die Menge A = {a, b, c} ist gleich der Menge B = {c, b, a}. Die Menge {1, -1} ist gleich der Menge {x | x2 = 1} |
| Disjunkte Mengen | Zwei Mengen sind disjunkt, wenn sie kein gemeinsames Element haben. | Die Mengen A = {1, 2} und B = {3, 4} sind disjunkt, weil sie kein Element gemeinsam haben. Die Menge der positiven reellen Zahlen und die der negativen reellen Zahlen sind disjunkt, da keine Zahl gleichzeitig positiv und negativ sein kann. |
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