Logische Tautologie

In der Aussagenlogik ist eine Tautologie oder ein logisches Gesetz eine zusammengesetzte Aussage, die immer wahr ist, unabhängig von den Wahrheitswerten der einfachen Aussagen, aus denen sie besteht. 

Zum Beispiel sind die folgenden Aussagen Tautologien:

• p ∨ ¬p, auch Satz vom ausgeschlossenen Dritten genannt.
• ¬(p ∧ ¬p), auch Satz vom Widerspruch genannt.
• ¬(¬p) ↔ p, auch Gesetz der doppelten Negation genannt.
• (p ∧ q) → q, ist ein Gesetz der Vereinfachung.
• ¬(p ∧ q) ↔ ¬p ∨ ¬q, genannt De Morgansches Gesetz für die Konjunktion.
• ¬(p ∨ q) ↔ ¬p ∧ ¬q, genannt De Morgansches Gesetz für die Disjunktion.

Wahrheitstafeln

Um zu überprüfen, ob eine Aussage eine Tautologie ist, kann man eine Wahrheitstafel erstellen. Wenn die Spalte der Aussage für alle möglichen Kombinationen von Wahrheitswerten der Variablen wahr ist, dann ist die Aussage eine Tautologie.

Beispiel 1

Die Wahrheitstafel für den Satz vom ausgeschlossenen Dritten, p ∨ ¬p, ist: 

p	¬p	p ∨ ¬p
W	F	W
F	W	W

Beachten Sie, dass die letzte Spalte, die der ursprünglichen Aussage, nur wahre Werte enthält.

Beispiel 2

Wir können die Wahrheitstafel für das Gesetz der doppelten Negation, ¬(¬p) ↔ p, erstellen:

p	¬p	¬(¬p)	¬(¬p) ↔ p
W	F	W	W
F	W	F	W

Beispiel 3

Die Wahrheitstafel für (p ∧ q) → q zeigt, dass es sich um eine Tautologie handelt:

p	q	p ∧ q	(p ∧ q) → q
W	W	W	W
W	F	F	W
F	W	F	W
F	F	F	W

Beispiel 4

Die folgende Tabelle ist die Wahrheitstafel für das De Morgansche Gesetz für die Konjunktion, ¬(p ∧ q) ↔ ¬p ∨ ¬q:

p	q	¬p	¬q	p ∧ q	¬(p ∧ q)	¬p ∨ ¬q	¬(p ∧ q) ↔ ¬p ∨ ¬q
W	W	F	F	W	F	F	W
W	F	F	W	F	W	W	W
F	W	W	F	F	W	W	W
F	F	W	W	F	W	W	W

Tautologien unterscheiden sich von Kontingenzen, die abhängig von den Wahrheitswerten der einfachen Aussagen wahr oder falsch sein können. Tautologische Aussagen sind auch das Gegenteil von Kontradiktionen, die immer falsch sind. Jede Tautologie ist die Negation einer Kontradiktion.

Um die mit einer Kontradiktion verbundene Tautologie zu erhalten, genügt es, diese Aussage zu negieren. So ist beispielsweise die Negation der Kontradiktion p ∧ ¬p die Aussage ¬(p ∧ ¬p), welche der Satz vom Widerspruch ist, eine Tautologie. 

Tautologien sind in der symbolischen Logik von grundlegender Bedeutung, weil sie unter anderem Folgendes ermöglichen:

• Die Gültigkeit von Argumenten beweisen: Wenn ein Argument als Tautologie nachgewiesen werden kann, bedeutet dies, dass es in allen möglichen Interpretationen gültig ist.
• Bei der Vereinfachung logischer Ausdrücke helfen: Sie können verwendet werden, um komplexere logische Ausdrücke umzuschreiben oder zu vereinfachen.
• Logische Schaltungen entwerfen: Tautologien können verwendet werden, um logische Schaltungen zu erstellen, die unabhängig von den Eingaben immer das korrekte Ergebnis liefern.