Logische Aussagen

Logische Aussagen sind Aussagesätze, die eine vollständige Bedeutung haben und als wahr oder falsch bewertet werden können, aber nicht beides gleichzeitig. Diese Sätze sind das grundlegende Element der Logik und müssen klar und präzise sein, ohne Mehrdeutigkeiten, damit ihr Wahrheitswert objektiv bestimmt werden kann.

Beispielsweise ist „die Erde ist ein Planet“ eine Aussage, deren Wahrheitswert wahr ist, während „2 + 2 = 5“ eine falsche Aussage ist. Allerdings sind nicht alle Sätze Aussagen; Sätze wie „Wie spät ist es?“ oder „Lerne mehr!“ können weder wahr noch falsch sein und sind daher keine Aussagen.

Beispiele

Weitere Beispiele für Aussagen sind:

• „Jupiter ist der größte Planet im Sonnensystem.“
• „Die Erde umkreist die Sonne.“
• „2 ist eine gerade Zahl.“
• „Die Themse ist ein wasserreicher Fluss.“
• „Kaffee enthält Koffein.“
• „Das Klavier ist ein Musikinstrument.“

Beispiele für Sätze, die KEINE Aussagen sind:

• „Schließ die Tür!“
• „Was für ein schöner Tag!“
• „Wie viel kostet dieses Produkt?“
• „Biegen Sie links ab.“
• „Hoffentlich regnet es morgen.“

Ebenso sind sinnlose Sätze oder solche, die undefinierte Variablen enthalten (wie „x ist größer als 3“, ohne zu wissen, was x ist), keine Aussagen, bis der Wert der Variablen spezifiziert wird.

Arten von Aussagen

Es gibt zwei Klassen von Aussagen:

• Einfache oder atomare Aussagen: Das sind Aussagen, die nicht in kleinere Teile zerlegt werden können, ohne ihre Bedeutung zu verlieren. Sie drücken eine einzige Idee aus und enthalten keine logischen Verknüpfungen. Zum Beispiel ist „Die Erde dreht sich um die Sonne“ eine einfache Aussage.
• Zusammengesetzte oder molekulare Aussagen: Das sind Aussagen, die aus einfachen Aussagen unter Verwendung von Junktoren gebildet werden, wie „heute ist Montag und es ist kalt“, wobei der Junktor „und“ (Konjunktion) zwei Behauptungen verbindet. Weitere gebräuchliche Junktoren sind "oder" (Disjunktion), "wenn... dann..." (Implikation) und "nicht" (Negation), „genau dann, wenn“ (Bikonditional).

Beispiele für einfache Aussagen sind die oben genannten, während einige Beispiele für zusammengesetzte Aussagen sind:

• „Es regnet nicht“. Der Operator „nicht“ (Negation) modifiziert den Satz „es regnet“.
• „Die Sonne scheint und es ist warm“. Hier verbindet der Junktor „und“ (Konjunktion) die Sätze „die Sonne scheint“ und „es ist warm“.
• „Ich gehe ins Kino oder ich bleibe zu Hause“. Der Junktor „oder“ (Disjunktion) verbindet die Sätze „ich gehe ins Kino“ und „ich bleibe zu Hause“.
• „Wenn du lernst, dann bestehst du“. Der Junktor „wenn… dann“ (Implikation) verbindet die Sätze „du lernst“ und „du bestehst“.
• „Eine Zahl ist gerade, genau dann, wenn sie durch 2 teilbar ist“. Der Junktor „genau dann, wenn“ (Bikonditional) verbindet die Sätze „eine Zahl ist gerade“ und „sie ist durch 2 teilbar“.

Einige komplexere Beispiele, die mehr als einen Junktor beinhalten:

• „Es stimmt nicht, dass Johann zur Party kommt und Maria nicht kommt“. Hier verneint der Junktor „nicht“ die Konjunktion „Johann kommt zur Party und Maria kommt nicht“.
• „Wenn es kalt und bewölkt ist, dann ziehe ich einen Mantel an oder bleibe zu Hause“. In dieser Aussage verbindet der Junktor „wenn... dann“ (Implikation) „es ist kalt und bewölkt“ (wobei das „und“ „es ist kalt“ und „es ist bewölkt“ verbindet).

Die Wahrheit oder Falschheit einer zusammengesetzten Aussage hängt vom Wahrheitswert der einfachen Aussagen, aus denen sie besteht, und von der Art und Weise, wie sie kombiniert sind, ab. Je nachdem, ob diese wahr oder falsch sind, hat die zusammengesetzte Aussage einen bestimmten Wert. Zum Beispiel ist die Aussage „Mars und Venus sind Planeten“ wahr, wenn die Aussagen „Mars ist ein Planet“ und „Venus ist ein Planet“ wahr sind, was in diesem Fall zutrifft. Diese Analyse wird mithilfe von Wahrheitstabellen durchgeführt.

Symbolik

In der Logik werden zur Bezeichnung von Aussagen die letzten Kleinbuchstaben des Alphabets (p, q, r, s, …) verwendet. Diese Buchstaben werden Aussagenvariablen genannt. Der Wahrheitswert 'wahr' wird mit dem Buchstaben „W“ (von wahr) oder der Ziffer 1 angegeben, während der Wahrheitswert 'falsch' mit dem Buchstaben „F“ (von falsch) oder der Ziffer 0 angegeben wird.

Jeder Junktor hat sein spezifisches Symbol, diese sind in der folgenden Tabelle zu sehen.

Junktor	Symbol
Negation	¬
Konjunktion	∧
Disjunktion	∨
Implikation	→
Bikonditional	↔

Gegeben seien zum Beispiel die folgenden Aussagen:

• p: „Es regnet.“
• q: „Ich nehme einen Regenschirm mit.“

Daraus können unter anderem diese neuen Aussagen gebildet werden:

• ¬p: „Es regnet nicht.“
• ¬q: „Ich nehme keinen Regenschirm mit.“
• p ∧ q: „Es regnet und ich nehme einen Regenschirm mit.“
• p ∨ q: „Es regnet oder ich nehme einen Regenschirm mit.“
• p → q: „Wenn es regnet, dann nehme ich einen Regenschirm mit.“
• p ↔ q: „Es regnet genau dann, wenn ich einen Regenschirm mitnehme.“