Mengendifferenz

Die Mengendifferenz ist eine grundlegende Operation, die eine neue Menge erzeugt, welche die Elemente enthält, die zur ersten Menge, aber nicht zur zweiten gehören. Sie wird durch das Symbol des umgekehrten Schrägstrichs „\“ dargestellt.

Die Mengendifferenz ist nicht kommutativ. Das bedeutet, dass die Reihenfolge der Mengen im Allgemeinen eine Rolle spielt: A \ B ist nicht dasselbe wie B \ A. Während die erste Operation die Elemente aus A nimmt, die nicht in B sind, nimmt die zweite die Elemente aus B, die nicht in A sind.

Eine andere Bezeichnung für die Differenz zwischen A und B ist relatives Komplement von B bezüglich A, symbolisiert als C_AB. Für die Differenz A \ B wird anstelle des umgekehrten Schrägstrichs manchmal auch das Minuszeichen verwendet: A - B.

Beispiele

Im Folgenden sehen wir einige Beispiele für diese Operation.

Beispiel 1

Gegeben seien die Mengen A = {2, 4, 6, 8, 10} und B = {3, 6, 9, 12}. Berechnen Sie A \ B und B \ A.

Lösung

Um A \ B zu erhalten, nehmen wir die Elemente von A und schließen diejenigen aus, die auch zu B gehören. In A sind die Elemente 2, 4, 6, 8 und 10. Von diesen ist die 6 auch in B enthalten, also entfernen wir sie. Somit:

A \ B = {2, 4, 8, 10}

Um B \ A zu finden, betrachten wir die Elemente von B und entfernen die, die in A sind. B enthält 3, 6, 9 und 12. Die 6 kommt auch in A vor, also eliminieren wir sie. Das Ergebnis ist 

B \ A = {3, 9, 12}

In diesem Fall sind beide Differenzmengen nicht-leer und voneinander verschieden.

Beispiel 2

Gegeben seien C = {a, e, i, o, u} und D = {a, b, c, d, e}, bestimmen Sie C \ D und D \ C.

Lösung

Wir berechnen zuerst C \ D. Wir identifizieren die Elemente von C, die nicht in D sind: die Vokale i, o und u kommen nicht in D vor, daher:

C \ D = {i, o, u}

Für D \ C nehmen wir nun die Elemente von D und entfernen jene, die zu C gehören. Die Buchstaben b, c und d aus D sind nicht in C, sodass:

D \ C = {b, c, d}

Beispiel 3

Betrachten wir E = {1, 3, 5, 7, 9} und F = {2, 4, 6, 8}. Finden Sie E \ F und F \ E.

Lösung

E \ F besteht aus den Elementen von E, die nicht in F sind. Da E und F keine Elemente gemeinsam haben, bleiben alle Elemente von E erhalten: 

E \ F = {1, 3, 5, 7, 9} = E

Für F \ E bleiben alle Elemente von F erhalten, da keines zu E gehört. Daher, 

F \ E = {2, 4, 6, 8} = F

Obwohl die Mengen hier disjunkt sind, gilt E \ F ≠ F \ E, was die Nicht-Kommutativität der Operation unterstreicht.

Beispiel 4

Seien G = {x, y, z} und H = {x, y, z}. Finden Sie G \ H und H \ G.

Lösung

G \ H erfordert die Elemente von G, die nicht in H sind. Da G und H gleich sind, gibt es keine Elemente in G, die in H fehlen. Daher ist G \ H = ∅. Ebenso sucht H \ G nach den Elementen von H, die nicht in G sind. Da die Mengen gleich sind, ist das Ergebnis ebenfalls die leere Menge: H \ G = ∅.

Beispiel 5

Sei ℕ die Menge der natürlichen Zahlen und P die Menge der geraden positiven Zahlen, berechnen Sie ℕ \ P.

Lösung

Schreiben wir einige Elemente beider Mengen auf:

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, …}

Wenn wir aus ℕ alle Elemente von P entfernen, erhalten wir die Menge der ungeraden Zahlen I:

I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}

Wollten wir die Differenz P ohne die Menge ℕ berechnen, erhielten wir die leere Menge, da alle geraden positiven Zahlen auch natürliche Zahlen sind.

Eigenschaften

Die Differenzoperation in der Mengenlehre besitzt eine Reihe von Eigenschaften und Beziehungen zu anderen Operationen.

1) Nicht-Kommutativität: Die Reihenfolge der Mengen bei einer Differenzbildung beeinflusst das Ergebnis.

A \ B ≠ B \ A

2) Nicht-Assoziativität: Die Art und Weise, wie die Mengen gruppiert werden, beeinflusst das Endergebnis.

(A \ B) \ C ≠ A \ (B \ C)

3) Identitätselement (oder neutrales Element): Die Differenz einer beliebigen Menge mit der leeren Menge ergibt die ursprüngliche Menge. Die leere Menge fungiert als rechtes neutrales Element.

A \ ∅ = A

4) Differenz mit der Universalmenge: Die Differenz einer Menge mit der Universalmenge ist die leere Menge.

A \ U = ∅

5) Beziehung zum Komplement: Die Mengendifferenz wird verwendet, um das Komplement einer Menge zu definieren: Das Komplement von A ist die Differenz der Universalmenge mit A.

Aᶜ = U \ A

6) Differenz als Schnittmenge: Die Differenz zweier Mengen ist gleich der Schnittmenge der ersten Menge mit dem Komplement der zweiten.

A \ B = A ∩ Bᶜ

Dies wird durch die Definition bewiesen:

A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B} = { x | x ∈ A ∧ x ∈ Bᶜ } = A ∩ Bᶜ

7) Differenz einer Menge mit sich selbst: Die Differenz einer beliebigen Menge mit sich selbst ist immer die leere Menge.

A \ A = ∅

8) Disjunkte Mengen: Wenn zwei Mengen disjunkt sind (keine gemeinsamen Elemente haben), dann ist ihre Differenz gleich der ersten Menge. 

Wenn A und B disjunkt sind (A ∩ B = ∅), dann gilt:

A \ B = A

B \ A = B

9) Inklusionseigenschaft: Wenn eine Menge eine Teilmenge einer anderen ist, ist ihre Differenz die leere Menge.

Wenn A ⊆ B, dann A \ B = ∅

10) Distributivität der Schnittmenge über die Differenz: Die Schnittmenge ist distributiv bezüglich der Differenz.

A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C)

Um diese Eigenschaft zu beweisen, gehen wir vom Ausdruck auf der linken Seite aus und wenden die Definition der Differenz als Schnittmenge mit dem Komplement an:

A ∩ (B \ C) = A ∩ (B ∩ Cᶜ) = (A ∩ B) ∩ Cᶜ (1)

Nun betrachten wir die rechte Seite der Gleichung. Wir wenden erneut die Definition der Differenz an:

(A ∩ B) \ (A ∩ C) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C)ᶜ

Wir verwenden das De Morgansche Gesetz, um das Komplement einer Schnittmenge umzuwandeln:

= (A ∩ B) ∩ (Aᶜ ∪ Cᶜ)

Nun wenden wir das Distributivgesetz der Schnittmenge bezüglich der Vereinigung an:

= [(A ∩ B) ∩ Aᶜ] ∪ [(A ∩ B) ∩ Cᶜ]

Wir analysieren den ersten Term: (A ∩ B) ∩ Aᶜ = A ∩ B ∩ Aᶜ. Da A ∩ Aᶜ = ∅ gilt, haben wir: A ∩ B ∩ Aᶜ = ∅. Daher vereinfacht sich der Ausdruck zu:

= ∅ ∪ [(A ∩ B) ∩ Cᶜ] = (A ∩ B) ∩ Cᶜ (2)

Durch Vergleich der Ergebnisse (1) und (2) erhalten wir:

A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) ∩ Cᶜ = (A ∩ B) \ (A ∩ C)

Womit die Gleichheit bewiesen ist.