Singleton-Menge

Eine Singleton-Menge (oder Einermenge) ist eine Menge, die genau ein Element enthält. Dieses Element kann ein beliebiges Objekt, eine Zahl, ein Symbol oder eine Entität sein, das im Kontext der Menge definiert ist.

Beispiele

Im Folgenden sehen wir einige Beispiele für Singleton-Mengen, die in aufzählender und beschreibender Form dargestellt werden.

1. Die Menge A = {a} ist eine Singleton-Menge, da sie nur ein Element enthält: „a“.
2. Die Menge B = {1, 1, 1, 1, 1} ist eine Singleton-Menge, da sie nur ein Objekt enthält, auch wenn dieses mehrmals aufgeführt wird.
3. Die Menge C = {x | x ist der Anfangsbuchstabe des Wortes „Haus“} ist eine Singleton-Menge. In aufzählender Form lautet sie C = {c}.
4. Die Lösungsmenge der linearen Gleichung 2x + 1 = 3 ist eine Singleton-Menge, da { x | 2x+1=3 } = {1}.
5. Die Potenzmenge der leeren Menge ist eine Singleton-Menge, da sie nur ein Element enthält, nämlich die leere Menge selbst: P(Ø) = {Ø}.
6. Die Menge M = { x | x ist eine ganze Zahl und 2 < x < 4 } ist eine Singleton-Menge, da wir daraus schließen können, dass M = {3}.
7. Die Menge T = { x | x ist der von Menschen bewohnte Planet } ist eine Singleton-Menge, da T = {Erde}.
8. Die Menge R = { {1, 2, 3} } ist eine Singleton-Menge, da ihr einziges Element die Menge {1, 2, 3} ist.
9. Die Menge L = { x | x ist ein natürlicher Satellit der Erde } ist eine Singleton-Menge, da die Menge als L = {Mond} ausgedrückt werden kann.
10. Die Schnittmenge der Mengen P = {5, 7, 9} und Q = {0, 1, 9} ist P ∩ Q = {9}, eine Singleton-Menge.

Eigenschaften

Singleton-Mengen erfüllen die folgenden Eigenschaften.

1. Eine Singleton-Menge hat nur zwei Teilmengen: sich selbst und die leere Menge. Ihre Potenzmenge besteht aus eben diesen beiden Mengen.
2. Die Kardinalität einer Singleton-Menge ist eins. Das heißt, wenn A eine Singleton-Menge ist, dann gilt |A| = 1.
3. Die Schnittmenge einer Singleton-Menge mit einer beliebigen anderen Menge besteht entweder aus dem gleichen Element oder ist leer, je nachdem, ob sie dieses Element gemeinsam haben oder nicht.
4. Die Schnittmenge zweier Singleton-Mengen ist entweder die Menge selbst oder die leere Menge, je nachdem, ob die Singleton-Mengen gleich sind oder nicht.
5. Das Komplement einer Singleton-Menge in einer Grundmenge ist die Menge, die alle Elemente enthält, die in der Grundmenge, aber nicht in der Singleton-Menge enthalten sind.

Übungsaufgaben