Logische Implikation

Die logische Implikation, auch Konditional oder Subjunktion genannt, ist ein logischer Junktor, der zwei Aussagen zu einer neuen verbindet. Sie drückt aus, dass wenn die erste Aussage wahr ist, auch die zweite wahr sein muss. Formal wird sie als p → q symbolisiert und als „wenn p, dann q“ gelesen. Dabei wird p als Antezedens (die Bedingung) und q als Konsequens (die Folge) bezeichnet.

Die Implikation ist dadurch definiert, dass sie nur in einem Fall falsch ist: wenn das Antezedens wahr und das Konsequens falsch ist. In allen anderen Kombinationen von Wahrheitswerten gilt die Implikation als wahr. Diese Regel hat eine wichtige Besonderheit: Wenn das Antezedens falsch ist, ist die Implikation immer wahr, unabhängig vom Wahrheitswert des Konsequens. Obwohl dies im alltäglichen Sprachgebrauch kontraintuitiv erscheinen mag, ist es für die Stimmigkeit der formalen Logik unerlässlich.

Einige Beispiele verdeutlichen die Funktionsweise in der Praxis:

• „Wenn du lernst, dann bestehst du die Prüfung“: Diese Aussage wäre nur dann falsch, wenn du lernst (p ist wahr), aber die Prüfung nicht bestehst (q ist falsch). Wenn du nicht lernst, wird das ursprüngliche Versprechen nicht gebrochen, egal ob du bestehst oder nicht.
• „Wenn es regnet, dann wird die Straße nass“: Diese Behauptung ist nur dann falsch, wenn es regnet und die Straße trotzdem trocken bleibt. Wenn es nicht regnet, bleibt die Implikation wahr, unabhängig davon, ob die Straße aus einem anderen Grund (z. B. durch ein Reinigungsfahrzeug) nass ist.
• „Wenn 2 + 2 = 5 ist, dann ist der Himmel blau“: Obwohl zwischen beiden Teilaussagen kein kausaler Zusammenhang besteht, ist die Implikation aus logischer Sicht wahr, da das Antezedens falsch ist. Die Logik bewertet nicht den Inhalt, sondern nur die Kombination der Wahrheitswerte.

Wahrheitstafel

Die Grundregel der Implikation ist einfach: p → q ist nur dann falsch, wenn p wahr und q falsch ist. In allen anderen Fällen ist die Implikation wahr. Dieses Verhalten wird in der zugehörigen Wahrheitstafel deutlich:

p	q	p → q
W	W	W
W	F	F
F	W	W
F	F	W

Analysieren wir die einzelnen Fälle:

• Wenn p wahr und q wahr ist, ist die Implikation erfüllt (wahr).
• Wenn p wahr, aber q falsch ist, ist die Implikation nicht erfüllt (falsch).
• Wenn p falsch ist, spielt der Wert von q keine Rolle: Die Implikation gilt standardmäßig als wahr.

Eine nützliche Methode, die Implikation zu verstehen, ist die Interpretation als Versprechen: Die einzige Möglichkeit, es zu brechen, besteht darin, dass die Bedingung (Antezedens) erfüllt wird, die Folge (Konsequens) aber nicht eintritt. Wenn wir zum Beispiel sagen: „Wenn du die Prüfung bestehst, schenke ich dir ein Buch“, wird das Versprechen nur dann gebrochen, wenn du die Prüfung bestehst, aber das Buch nicht erhältst. Wenn du nicht bestehst, bleibt das Versprechen ungebrochen, unabhängig davon, ob du das Buch bekommst oder nicht.

Diese logische Besonderheit erklärt, warum eine Aussage wie „Wenn 2 + 2 = 5 ist, dann gibt es Leben auf dem Mars“ formal als wahr gilt: Da das Antezedens falsch ist, wird das „Versprechen“ nicht gebrochen, sodass die Implikation unabhängig von der Wahrheit des Konsequens Bestand hat.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Ausdruck p → q zu lesen, die gebräuchlichsten sind:

• Wenn p, dann q.
• p impliziert q.
• p ist eine hinreichende Bedingung für q.
• q ist eine notwendige Bedingung für p.

Verwandte Implikationen

Ausgehend von einer direkten Implikation p → q können wir drei logische Varianten definieren, die helfen, die Beziehung aus verschiedenen Perspektiven zu analysieren:

1) Umkehrung (Konverse): q → p

Hier werden Antezedens und Konsequens vertauscht. Wenn die ursprüngliche Aussage „Wenn es regnet, wird die Straße nass“ lautet, wäre die Umkehrung „Wenn die Straße nass ist, dann regnet es“.

2) Inverse Implikation: ¬p → ¬q

In diesem Fall werden beide Aussagen verneint, während ihre Reihenfolge beibehalten wird. Beim vorigen Beispiel lautet die Inverse: „Wenn es nicht regnet, dann wird die Straße nicht nass“.

3) Kontraposition: ¬q → ¬p

Hier werden beide Aussagen verneint und ihre Positionen getauscht. Bei unserem Beispiel wäre das: „Wenn die Straße nicht nass ist, dann regnet es nicht“.

Eine der wichtigsten Eigenschaften der Implikation ist, dass sie immer logisch äquivalent zu ihrer Kontraposition ist. Das heißt:

p → q ≡ ¬q → ¬p

Dies lässt sich mit einer Wahrheitstafel beweisen, indem man zeigt, dass beide zusammengesetzten Aussagen für jede mögliche Interpretation denselben Wahrheitswert haben.

p	q	¬p	¬q	p → q	¬q → ¬p	p → q ≡ ¬q → ¬p
W	W	F	F	W	W	W
W	F	F	W	F	F	W
F	W	W	F	W	W	W
F	F	W	W	W	W	W

Es ist wichtig zu betonen, dass weder die Umkehrung noch die Inverse zur ursprünglichen Implikation äquivalent sind. Um auf unser Beispiel zurückzukommen:

• Die Umkehrung „Wenn die Straße nass ist, dann regnet es“ kann falsch sein (die Straße könnte aus anderen Gründen nass sein).
• Die Inverse „Wenn es nicht regnet, dann wird die Straße nicht nass“ kann ebenfalls falsch sein (die Straße könnte bewässert worden sein).

Eigenschaften

Die Implikation erfüllt mehrere grundlegende Eigenschaften, die es ermöglichen, Ausdrücke in der Aussagenlogik zu manipulieren und zu vereinfachen. Nachfolgend sind die wichtigsten aufgeführt:

1) Äquivalenz zur Disjunktion: Eine der nützlichsten Umformungen ist die Darstellung der Implikation als Disjunktion:

p → q ≡ ¬p ∨ q

Diese Äquivalenz wird häufig zur Vereinfachung von Beweisen und logischen Analysen verwendet. Wir können ihre Richtigkeit mithilfe einer Wahrheitstafel bestätigen:

p	q	¬p	p → q	¬p ∨ q	p → q ≡ ¬p ∨ q
W	W	F	W	W	W
W	F	F	F	F	W
F	W	W	W	W	W
F	F	W	W	W	W

2) Negation einer Implikation: Um eine Implikation zu verneinen, wenden wir die folgende Äquivalenz an:

¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q

Dies bestätigt, dass die einzige Möglichkeit, „wenn p, dann q“ zu widerlegen, darin besteht, dass p wahr und q falsch ist.

3) Kontraposition: Wie bereits erwähnt, ist jede Implikation äquivalent zu ihrer Kontraposition:

p → q ≡ ¬q → ¬p

Diese Eigenschaft ist grundlegend für indirekte mathematische Beweise.

4) Transitivität (hypothetischer Syllogismus): Wenn eine Bedingung eine zweite impliziert und diese wiederum eine dritte, dann impliziert die erste die dritte:

[ (p → q) ∧ (q → r) ] → (p → r)

5) Modus ponens: Dies ist eine Schlussregel, die es uns erlaubt, das Konsequens zu bejahen, wenn das Antezedens erfüllt ist:

[ (p → q) ∧ p ] → q

6) Modus tollens: Wenn eine Implikation wahr ist, ihr Konsequens aber falsch, dann muss auch das Antezedens falsch sein:

[ (p → q) ∧ ¬q ] → ¬p

7) Exportationsgesetz: Diese Regel erlaubt es uns, aufeinanderfolgende Implikationen als einen einzigen Ausdruck umzuschreiben:

(p ∧ q → r) ≡ (p → (q → r))

8) Reductio ad absurdum: Wenn aus der Annahme von p sowohl q als auch ¬q folgt, dann muss p falsch sein:

(p → q) ∧ (p → ¬q) ≡ ¬p

Diese Technik wird häufig beim Beweis von Theoremen eingesetzt.

9) Beziehung zu Tautologien und Kontradiktionen: Sei W eine Tautologie (eine immer wahre Aussage) und F eine Kontradiktion (eine immer falsche Aussage), dann gilt:

p → W ≡ W

p → F ≡ ¬p

W → p ≡ p

F → p ≡ W

Im Gegensatz zu anderen Junktoren erfüllt die Implikation bestimmte Eigenschaften nicht:

• Nicht kommutativ: p → q ist nicht äquivalent zu q → p.
• Nicht idempotent: p → p ≡ W, lässt sich aber nicht zu p reduzieren.
• Nicht assoziativ im traditionellen Sinne wie andere Operatoren.

Implikationen in mathematischen Theoremen

Die „Wenn-dann“-Struktur ist die Grundlage der meisten mathematischen Theoreme. Sie stellt eine Beziehung zwischen einer Voraussetzung (Anfangsbedingung) und einer Folgerung (der daraus abgeleiteten Konklusion) her. Diese Formulierung garantiert, dass immer, wenn die Voraussetzung erfüllt ist, zwangsläufig auch die Folgerung eintreten muss.

Beispiel: „Wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist, dann ist sie gerade.“

Analysieren wir die verschiedenen Fälle:

1) Voraussetzung und Folgerung sind erfüllt:

Nehmen wir die Zahl 8. Sie ist durch 4 teilbar (Voraussetzung wahr) und tatsächlich gerade (Folgerung wahr). Das Theorem trifft zu.

2) Voraussetzung ist erfüllt, aber die Folgerung NICHT:

Gibt es eine Zahl, die durch 4 teilbar, aber nicht gerade ist? Nein, denn jedes Vielfache von 4 ist auch ein Vielfaches von 2. Dieser Fall kann nicht eintreten, was die Gültigkeit des Theorems bestätigt.

3) Voraussetzung ist NICHT erfüllt, aber die Folgerung ist erfüllt:

Betrachten wir die Zahl 6. Sie ist nicht durch 4 teilbar (Voraussetzung falsch), aber sie ist gerade (Folgerung wahr). Das Theorem bleibt gültig, da es nur dann eine Garantie gibt, wenn die Voraussetzung erfüllt ist. Anders ausgedrückt: Wenn die Voraussetzung nicht erfüllt ist, kann mit der Folgerung alles Mögliche passieren, und das Theorem bleibt trotzdem gültig.

4) Weder Voraussetzung noch Folgerung sind erfüllt:

Die Zahl 5 ist nicht durch 4 teilbar (Voraussetzung falsch) und auch nicht gerade (Folgerung falsch). Das Theorem bleibt gültig, da es nichts aussagt für den Fall, dass die Voraussetzung falsch ist.

Es ist wichtig zu verstehen, dass das Theorem „Wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist, dann ist sie gerade“ nicht behauptet, dass alle geraden Zahlen durch 4 teilbar sind (das wäre die Umkehrung, die falsch ist). Es stellt nur eine spezifische Richtung her: die Teilbarkeit durch 4 als hinreichende Bedingung dafür, gerade zu sein.

Die Verwendung der Kontraposition ist beim Beweis von Theoremen besonders nützlich, da, wie wir gesehen haben, p → q ≡ ¬q → ¬p gilt. Das bedeutet, anstatt direkt zu beweisen, dass „Wenn die Voraussetzung gegeben ist, dann tritt die Folgerung ein“, können wir stattdessen zeigen, dass „Wenn die Folgerung nicht eintritt, dann ist die Voraussetzung nicht gegeben“. Beide Aussagen sind logisch äquivalent, sodass der Beweis der einen auch die andere beweist.

Im obigen Beispiel lautet die Kontraposition des Theorems „Wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist, dann ist sie gerade“: „Wenn eine Zahl nicht gerade ist, dann ist sie nicht durch 4 teilbar“. Diese Formulierung ist oft leichter zu überprüfen: Wenn eine Zahl ungerade ist, kann sie offensichtlich nicht durch 4 teilbar sein. Indem wir also die Kontraposition bewiesen haben, haben wir auch die Gültigkeit des ursprünglichen Theorems nachgewiesen. Diese Technik wird häufig dann angewendet, wenn der direkte Beweis komplizierter oder weniger intuitiv ist.