Kontingenz in der Aussagenlogik

In der Aussagenlogik ist eine Kontingenz eine zusammengesetzte Aussage, die in manchen Fällen wahr und in anderen falsch ist, also weder eine Tautologie noch ein Widerspruch ist.

Kontingente Aussagen sind die häufigsten in der natürlichen Sprache, da wir sie verwenden, um die reale Welt zu beschreiben und Behauptungen darüber aufzustellen, was in ihr geschieht. Einige Beispiele für kontingente Aussagen in der Alltagssprache sind:

• „Es ist kalt und es regnet“, ist nur dann wahr, wenn es gleichzeitig kalt ist und regnet. Wenn es nur kalt ist, aber nicht regnet, oder umgekehrt, ist die Aussage falsch; sie ist auch falsch, wenn es weder kalt ist noch regnet.
• „Johann isst Brot oder schaut fern“, ist eine wahre Aussage, wenn das Erste und das Zweite zutrifft, oder wenn mindestens eines von beiden zutrifft; die Aussage ist falsch, wenn beide Behauptungen falsch sind.

Beispiele

Um herauszufinden, ob eine Aussage eine Kontingenz ist, können wir ihre Wahrheitstafel erstellen: Wenn mindestens ein Wahrheitswert wahr und ein anderer falsch ist, handelt es sich um eine Kontingenz. Wenn alle Werte wahr sind, handelt es sich um eine Tautologie; wenn alle falsch sind, handelt es sich um einen Widerspruch. 

Beispiel 1

Die Aussage ¬p ∧ q ↔ q ∨ ¬q ist eine Kontingenz mit zwei Variablen. Ihre Wahrheitstafel lautet:

p	q	¬p	¬q	¬p ∧ q	q ∨ ¬q	¬p ∧ q ↔ q ∨ ¬q
W	W	F	F	F	W	F
W	F	F	W	F	W	F
F	W	W	F	W	W	W
F	F	W	W	F	W	F

Beachten Sie, dass die Aussage nur dann wahr ist, wenn p falsch und q wahr ist, und in allen anderen Fällen falsch ist.

Beispiel 2

Die zusammengesetzte Aussage ¬p ∨ q ist eine Kontingenz:

p	q	¬p	¬p ∨ q
W	W	F	W
W	F	F	F
F	W	W	W
F	F	W	W

Beispiel 3

¬p ∧ q → r ist eine kontingente Aussage mit drei Variablen:

p	q	r	¬p	¬p ∧ q	¬p ∧ q → r
W	W	W	F	F	W
W	W	F	F	F	W
W	F	W	F	W	W
W	F	F	F	F	W
F	W	W	W	W	W
F	W	F	W	W	F
F	F	W	W	F	W
F	F	F	W	F	W

Der einzige Fall, in dem die Aussage falsch ist, ist, wenn p falsch, q wahr und r falsch ist.

Weitere Beispiele

• ¬p
• p ∧ q 
• p ∨ q
• p → q
• p ↔ q

Man kann überprüfen, dass diese Aussagen kontingent sind, indem man sich die Wahrheitstafeln der logischen Verknüpfungen ansieht.