Mengenschreibweise

Eine Menge ist eine wohldefinierte Sammlung von Objekten, die als Elemente bezeichnet werden. Eine Menge anzugeben bedeutet, die Elemente auszudrücken, aus denen sie besteht, und dies kann auf zwei Weisen geschehen: in aufzählender Form, wenn alle Elemente aufgelistet werden, oder in beschreibender Form, wenn die gemeinsame Eigenschaft, die sie charakterisiert, angegeben wird.

Mengen in aufzählender Form

Eine Menge in aufzählender Form (auch Enumeration oder tabellarische Form genannt) anzugeben, bedeutet, die Elemente der Menge explizit, durch Kommas getrennt und in geschweiften Klammern aufzuschreiben. Das heißt, eine Menge wird in aufzählender Form angegeben, wenn alle ihre Elemente einzeln aufgelistet oder genannt werden.

Beispiele

• A = {a, b, c}
• B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
• C = {-1, 1}
• D = {W, e, l, t}
• E = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
• F = {a, e, i, o, u}
• G = {2, 4, 6, 8, 10}
• Die leere Menge (diejenige, die keine Elemente enthält) wird mit leeren geschweiften Klammern dargestellt: Ø = { }.

Bei der Angabe durch Aufzählung spielen weder die Reihenfolge, in der die Elemente geschrieben werden, noch deren Wiederholung eine Rolle. Zum Beispiel sind die folgenden drei Mengen identisch: {a, b, c}; {c, a, b}; {a, a, c, b, c}.

Ein Vorteil dieser Angabemethode ist, dass die Elemente der Menge leicht zu verstehen und zu visualisieren sind. Der Hauptnachteil ist, dass diese Form bei großen Mengen mühsam und bei unendlichen Mengen unmöglich durchzuführen ist. Da in der Mathematik die meisten Mengen, mit denen gearbeitet wird, unendlich sind, wird üblicherweise die zweite Art der Mengen-Angabe häufiger verwendet.

Mengen in beschreibender Form

Beispiele

• A = { x | x ist einer der ersten drei Buchstaben des Alphabets}
• B = { x | x ist eine natürliche Zahl kleiner oder gleich 10}
• C = { x | x² = 1}   
• D = { x | x ist ein Buchstabe des Wortes „Welt“}
• E = { x | x ist eine ungerade natürliche Zahl kleiner oder gleich 11}
• F = { x / x ist ein Vokal}
• G = { x : x ist eine gerade Zahl zwischen 2 und 10, einschließlich dieser}

Es gibt nicht nur eine einzige Möglichkeit, eine Menge in beschreibender Form anzugeben. Sie können auf verschiedene Weisen ausgedrückt werden, solange keine Mehrdeutigkeit entsteht. Zum Beispiel ist eine andere Art, die Menge B auszudrücken:

B = {x | x ist eine ganze Zahl und 1 ≤ x ≤ 10}

In der Mathematik ist es üblich, neue Mengen aus einigen Elementen einer anderen Menge zu bilden. Wenn wir also eine Menge E aus den Elementen einer anderen Menge U bilden wollen, wird ausgedrückt, dass E eine Menge ist, deren Elemente zu U gehören, was wir als x ∈ U symbolisieren (das Symbol ∈ wird als „ist Element von“ gelesen), sodass sie eine bestimmte Bedingung erfüllen. Die Menge U wird als Grundmenge oder Universum bezeichnet und ist diejenige, die alle relevanten Elemente eines gegebenen Kontexts enthält.

Wenn wir beispielsweise angeben möchten, dass P die Menge aller natürlichen Zahlen (N) ist, die gerade sind, können wir dies auf eine der folgenden Weisen schreiben:

• P = { x ∈ N | x ist gerade }
• P = { x | x ∈ N und x ist gerade }
• P = { x ∈ N | x = 2k und k ∈ N }

Wie wir in den letzten beiden Beispielen gesehen haben, können wir logische Verknüpfungen wie die Disjunktion („oder“) und die Konjunktion („und“) verwenden, um mehrere Bedingungen festzulegen. Die Disjunktion bedeutet, dass die Elemente eine der beiden oder beide Bedingungen erfüllen müssen, während die Konjunktion bedeutet, dass die Elemente beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen müssen. Das Symbol für die Konjunktion ist „∧“, während es für die Disjunktion „∨“ ist, obwohl wir sie auch mit Worten schreiben können.

Die Mengenoperationen werden mithilfe dieser Methode definiert:

• Vereinigung: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
• Schnittmenge: A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
• Differenz: A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}
• Symmetrische Differenz: A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A)
• Komplement: A^c = {x | x ∈ U ∧ x ∉ A}

Der Hauptvorteil der beschreibenden Form ist, dass sie es ermöglicht, große oder unendliche Mengen kompakt zu beschreiben. Zum Beispiel ist die Menge aller positiven reellen Zahlen unmöglich in aufzählender Form auszudrücken, da sie unendlich viele Elemente hat. In beschreibender Form kann sie jedoch leicht als R⁺= {x ∈ R | x > 0 } ausgedrückt werden, was gelesen wird als „R⁺ besteht aus den reellen Zahlen x, für die gilt, dass x größer als null ist (also positiv ist)“.

Erinnern wir uns daran, dass die Symbole für die Zahlenmengen die folgenden sind: N für die natürlichen Zahlen, Z für die ganzen Zahlen, Q für die rationalen Zahlen, R für die reellen Zahlen und C für die komplexen Zahlen.

Die Menge Q der rationalen Zahlen kann in beschreibender Form so angegeben werden:

Q = { a/b | a und b sind ganze Zahlen und b ≠ 0}

Die leere Menge wird in beschreibender Form mit einer Eigenschaft definiert, die kein Element erfüllt, zum Beispiel:

Ø = { x ∈ R | x² + 1 = 0 }

Dies liegt daran, dass die Gleichung x² + 1 = 0 keine Lösung in den reellen Zahlen hat.

Wir können außerdem Mengen schreiben, die aus geordneten Paaren oder Tripeln bestehen (was wir bei endlichen Mengen auch in aufzählender Form tun könnten). Zum Beispiel:

H = { (x, y) ∈ R² | y = 2x }

J = { (x, y, z) ∈ R³ | x + y + z = 0 }

Wenn wir die Elemente als Punkte verstehen, ist H eine Menge, die aus allen Punkten der kartesischen Ebene (R²) besteht, für die gilt, dass die Ordinate gleich dem Doppelten der Abszisse ist, während J aus allen Punkten des Raumes (R³) besteht, für die die Summe ihrer Koordinaten gleich null ist.

Dieselbe Menge kann in aufzählender und beschreibender Form ausgedrückt werden, sofern sie endlich ist. In der folgenden Tabelle sehen wir den Vergleich zwischen den verschiedenen Notationen.

Menge in aufzählender Form	Menge in beschreibender Form
{a, b, c}	{x | x ist einer der ersten drei Buchstaben des Alphabets}
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}	{x | x ist eine natürliche Zahl kleiner oder gleich 10}
{-1, 1}	{x | x2 = 1}
{W, e, l, t}	{x | x ist ein Buchstabe des Wortes „Welt“}
{1, 3, 5, 7, 9, 11}	{x | x ist eine ungerade natürliche Zahl kleiner oder gleich 11}

Übungsaufgaben