Gleichheit von Mengen

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie genau dieselben Elemente enthalten, unabhängig von deren Reihenfolge oder Wiederholung. Die Gleichheitsrelation wird mit „=“ symbolisiert. Sind also A und B zwei gleiche Mengen, schreibt man A = B. 

Eine Methode, um zu bestimmen, ob zwei Mengen gleich sind, besteht darin zu prüfen, ob sie sich gegenseitig enthalten. Dies ergibt sich aus der Antisymmetrie-Eigenschaft der Mengeninklusion:

A = B genau dann, wenn A ⊆ B und B ⊆ A

Zwei Mengen sind nicht gleich, wenn eine ein Element enthält, das die andere nicht hat. Für die Ungleichheit wird das Symbol „≠“ verwendet. Sind also A und B verschieden, schreibt man A ≠ B.

Im Gegensatz zur Äquivalenz, bei der die Mengen nur dieselbe Kardinalität haben müssen, müssen Mengen für die Gleichheit dieselbe Kardinalität und zusätzlich dieselben Elemente aufweisen.

Beispiele

1. Die Menge A = {1, 2, 3} ist gleich der Menge B = {3, 1, 2}, da beide dieselben Elemente enthalten, auch wenn sie in unterschiedlicher Reihenfolge notiert sind. Also gilt A = B.
2. Die Menge C = {a, b, c, c, b} und die Menge D = {b, a, a, b, c} sind gleich, da beide dieselben Elemente enthalten, auch wenn diese in unterschiedlicher Reihenfolge oder mehrfach auftreten.
3. Die Menge E = {-1, 0, 1} ist verschieden von der Menge F = {1, 2, 4}, da die Elemente „-1“ und „0“ in E, aber nicht in F enthalten sind, während „2“ und „4“ in F, aber nicht in E enthalten sind. Also gilt E ≠ F.
4. Die Menge M = {-2, 2} ist gleich der Menge N = { x | x² = 4 }, da wir N in aufzählender Form als N = {-2, 2} schreiben können und daraus schließen, dass M = N.
5. Die unendliche Menge der positiven ganzen Zahlen Z⁺ = {1, 2, 3, 4,...} ist gleich der Menge der natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, 4,...}, da beide dieselben Elemente enthalten. Also gilt Z⁺ = N.
6. Die Menge der reellen Zahlen R ist verschieden von der Menge der rationalen Zahlen Q, da es reelle Zahlen gibt, die nicht rational, sondern irrational sind (wie π, e, √2, etc.). Also gilt R ≠ Q.

Eigenschaften der Gleichheit

Die Gleichheitsrelation für Mengen erfüllt die folgenden Eigenschaften.

• Reflexivität: Jede Menge ist gleich sich selbst. Das heißt, A = A für jede beliebige Menge A.
• Symmetrie: Wenn eine Menge gleich einer anderen ist, dann ist auch die zweite Menge gleich der ersten. Das heißt, wenn A = B, dann ist auch B = A.
• Transitivität: Wenn eine Menge gleich einer zweiten ist und diese zweite gleich einer dritten, dann ist auch die erste Menge gleich der dritten. Das heißt, wenn A = B und B = C, dann ist auch A = C.

Übungsaufgaben