Natürliche Zahlen

Die natürlichen Zahlen sind diejenigen Zahlen, die wir zum Zählen und Ordnen verwenden: 1, 2, 3, 4, 5, usw. Alle natürlichen Zahlen sind positive ganze Zahlen, das heißt, Brüche und negative Zahlen gehören nicht zu den natürlichen Zahlen.

Wir verwenden diese Zahlen im Allgemeinen, um Mengen zu zählen, zum Beispiel: das Alphabet hat 26 Buchstaben, der Regenbogen hat 7 Farben, usw. Wir verwenden sie auch, um eine Reihenfolge anzugeben, zum Beispiel bei einem Rennen mit zehn Teilnehmern, ordnen wir sie nach ihrer Ankunftszeit im Ziel vom ersten bis zum zehnten Platz.

Zusätzlich zu den am Anfang genannten sind einige Beispiele für natürliche Zahlen: 10, 15, 50, 92, 103, 245, 444, 13, 1000, 4560. Wenn wir zu einer natürlichen Zahl 1 addieren, erhalten wir eine weitere natürliche Zahl. Die folgenden sind Beispiele für Zahlen, die keine natürlichen Zahlen sind: -70, 2/3; 6,5; π, √2.

Menge der natürlichen Zahlen

Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, aus der die anderen aufgebaut werden können: ganze, rationale, reelle, komplexe Zahlen. Die natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der ganzen Zahlen, welche wiederum eine Teilmenge der rationalen Zahlen und diese eine Teilmenge der reellen Zahlen ist. Alle natürlichen Zahlen sind also auch ganze, rationale und reelle Zahlen.

Je nach Anwendungsfall kann die 0 als natürliche Zahl betrachtet werden oder nicht. Diese Zahl ist nützlich, um die Abwesenheit von zählbaren oder zu ordnenden Objekten anzuzeigen. Wenn man die Null als natürliche Zahl zulässt, besitzt die Addition, wie wir später sehen werden, ein neutrales Element.

Um explizit anzugeben, dass die Null als natürliche Zahl betrachtet wird (was in Deutschland üblich ist), wird dem Mengensymbol der Index Null hinzugefügt:

*\mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,4,5,...\}* 

Merkmale und Eigenschaften

Einige Merkmale und Eigenschaften der natürlichen Zahlen sind:

• Die Menge der natürlichen Zahlen ist geordnet und unendlich, was bedeutet, dass immer neue natürliche Zahlen gefunden werden können und man zwei verschiedene Zahlen vergleichen kann, um zu bestimmen, welche kleiner (oder größer) ist.
• Die Menge der natürlichen Zahlen hat ein erstes Element, nämlich die 1 (oder die Null, wenn sie als natürliche Zahl betrachtet wird), diese Zahl ist die kleinste aller natürlichen Zahlen. Da es eine unendliche Menge ist, gibt es keine natürliche Zahl, die die größte von allen ist.
• Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger. Eine natürliche Zahl und ihr Nachfolger werden als aufeinanderfolgend bezeichnet. Der Nachfolger einer natürlichen Zahl kann durch Addition von 1 ermittelt werden.
• Jede natürliche Zahl, außer der ersten, hat einen Vorgänger. Der Vorgänger einer natürlichen Zahl kann durch Subtraktion von 1 ermittelt werden.
• Zwischen zwei natürlichen Zahlen gibt es immer eine endliche Anzahl natürlicher Zahlen. Deshalb wird sie als diskrete Menge bezeichnet, oder auch als nicht dichte Menge.
• Zwischen einer natürlichen Zahl und ihrem Nachfolger gibt es keine weitere natürliche Zahl.
• Natürliche Zahlen können mit einigen Einschränkungen addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden.

Darstellung auf dem Zahlenstrahl

Die natürlichen Zahlen können auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden. Dazu wird jede Zahl im gleichen Abstand zueinander platziert:

Da die Menge der natürlichen Zahlen unbegrenzt ist, erstreckt sich der Strahl unendlich nach rechts, wie der Pfeil anzeigt.

Operationen mit natürlichen Zahlen

Mit natürlichen Zahlen können wir die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzierung und Radizierung definieren.

Wie bereits erwähnt, können natürliche Zahlen addiert und multipliziert werden, und das Ergebnis dieser Operationen ist ebenfalls eine natürliche Zahl. Dies gilt jedoch nicht für die Subtraktion und Division, in diesen Fällen:

• Die Subtraktion zweier natürlicher Zahlen ergibt nur dann eine natürliche Zahl, wenn der Minuend größer als der Subtrahend ist. Andernfalls ist das Ergebnis keine natürliche Zahl. Zum Beispiel: Das Ergebnis von *2-3* ist keine natürliche Zahl.
• Die Division zweier natürlicher Zahlen ist nur dann eine natürliche Zahl, wenn der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist, also wenn die Division ohne Rest aufgeht. Zum Beispiel ist das Ergebnis von *7:4* keine natürliche Zahl. 

Einschränkungen der natürlichen Zahlen

Die Haupteinschränkung der natürlichen Zahlen besteht darin, dass sie keine negativen oder gebrochenen Größen darstellen können. Mit anderen Worten, sie können nicht verwendet werden, um Mengen zu messen, die "weniger als nichts" sind oder die keine ganzen Teile eines Ganzen darstellen. Zum Beispiel:

1. Man kann eine natürliche Zahl nicht verwenden, um eine Schuld, einen Verlust oder eine Temperatur unter null darzustellen.
2. Man kann eine natürliche Zahl nicht verwenden, um Mengen wie einen halben Apfel, ein Drittel einer Pizza oder einen halben Meter darzustellen.

Auf der Ebene der Operationen haben wir diese beiden Einschränkungen bei der Subtraktion und der Division gesehen. Es ist nicht möglich, im Bereich der natürlichen Zahlen die Operationen *a-b*, wenn *a<b*, oder *a:b*, wenn *a* kein Vielfaches von *b* ist, zu lösen. Ebenso gibt es keine inversen Elemente für die Addition und die Multiplikation.

Um die Einschränkungen der natürlichen Zahlen zu überwinden, wurden andere Zahlenmengen geschaffen, wie die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen.