Kartesisches Produkt

Beispiele

1) Gegeben seien die Mengen A = {1, 2} und B = {a, b}. Das kartesische Produkt ist:

A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

2) Für C = {x, y, z} und D = {0, 1} ist das kartesische Produkt:

C × D = {(x, 0), (x, 1), (y, 0), (y, 1), (z, 0), (z, 1)}

3) Das kartesische Produkt der Mengen A = {a, b, c} und B = {1, 2} ist die Menge:

A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}

4) Gegeben sei die Menge ℕ₀ (der natürlichen Zahlen) und die Menge B = {0, 1}. Das kartesische Produkt der beiden Mengen hat unendlich viele Elemente und wird in mengendefinierender Schreibweise wie folgt ausgedrückt:

ℕ₀ × B = {(n, b) | n ∈ ℕ₀, b ∈ {0, 1} }

Einige der geordneten Paare dieser Menge sind (1, 0), (2, 0), (1, 1), (5, 0), usw.

5) Die Menge der rationalen Zahlen wird als das kartesische Produkt der Menge der ganzen Zahlen (ℤ) mit sich selbst ohne die Null (ℤ*) definiert:

ℚ = ℤ × ℤ*

6) Die Menge der komplexen Zahlen wird als das kartesische Produkt der Menge der reellen Zahlen (ℝ) mit sich selbst definiert:

ℂ = ℝ × ℝ

Das kartesische Produkt einer Menge mit sich selbst ist:

A × A = A² = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ A}

Beispielsweise ergibt sich für A = {1, 2}: A × A = A² = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Kartesisches Produkt von drei Mengen

Beispiel: Gegeben seien die Mengen A = {1, 2}, B = {x} und C = {a, b}. Dann ergibt sich:

A × B × C = {(1, x, a), (1, x, b), (2, x, a), (2, x, b)}

Wie man das kartesische Produkt berechnet

Sehen wir uns einige Techniken an, die wir zur Vereinfachung der Berechnung von kartesischen Produkten verwenden können. Dies ist nur dann nützlich, wenn wir es mit Mengen mit wenigen Elementen zu tun haben und das Produkt in aufzählender Form darstellen müssen. Im Falle von unendlichen Mengen ist es mehr als ausreichend, das kartesische Produkt wie in der Definition, also in mengendefinierender Schreibweise, anzugeben.

Kartesisches Produkt von 2 Mengen

Wenn wir mit geordneten Paaren arbeiten, können wir eine Ebene mit kartesischen Koordinaten verwenden, um die Elemente beider Mengen darzustellen und ihr Produkt zu finden. Auf der horizontalen Achse tragen wir die Elemente der ersten Menge und auf der vertikalen Achse die der zweiten Menge ein. Anschließend bilden wir die entsprechenden geordneten Paare.

Seien zum Beispiel die Mengen A = {1, 3} und B = {b, c} gegeben, und wir wollen A×B berechnen. Die kartesische Grafik würde wie folgt aussehen:

Daraus entnehmen wir, dass A×B = {(1,b), (1,c), (3,b), (3,c)}. Eine kompaktere Methode ist eine Tabelle, die derselben Logik wie die Grafik folgt, wie die folgende:

c	(1, c)	(3, c)
b	(1, b)	(3, b)
A × B	1	3

Auch hieraus ergeben sich dieselben geordneten Paare für das kartesische Produkt.

Kartesisches Produkt von 3 Mengen

Im Fall von drei Mengen wäre die Darstellung von A×B×C nicht in einer Ebene, sondern im Raum, aufgrund der drei Komponenten des Tripels. Um jedoch die Erstellung von dreidimensionalen Grafiken zu vermeiden, können wir zuerst das Produkt der ersten beiden Mengen berechnen und dann mit den erhaltenen Paaren die Tripel nach dem vorherigen Verfahren bilden. Das heißt, wir berechnen (A × B) × C.

Beispiel: Seien A = {a, b, c}, B = {1, 2} und C = {7, 8}. Zuerst berechnen wir A×B:

2	(a, 2)	(b, 2)	(c, 2)
1	(a, 1)	(b, 1)	(c, 1)
A × B	a	b	c

Also ist A × B= {(a, 2), (b, 2), (c, 2), (a, 1), (b, 1), (c, 1)}. Diese erhaltenen Paare tragen wir nun auf der horizontalen Achse ein und auf der vertikalen Achse platzieren wir die Elemente von C:

8	(a, 2, 8)	(b, 2, 8)	(c, 2, 8)	(a, 1, 8)	(b, 1, 8)	(c, 1, 8)
7	(a, 2, 7)	(b, 2, 7)	(c, 2, 7)	(a, 1, 7)	(b, 1, 7)	(c, 1, 7)
A × B × C	(a, 2)	(b, 2)	(c, 2)	(a, 1)	(b, 1)	(c, 1)

Hieraus können wir bereits alle Tripel von A × B × C = {(a, 2, 8), (b, 2, 8), (c, 2, 8), (a, 1, 8), (b, 1, 8), (c, 1, 8), (a, 2, 7), (b, 2, 7), (c, 2, 7), (a, 1, 7), (b, 1, 7), (c, 1, 7)} entnehmen.

Eigenschaften des kartesischen Produkts

Die Operation des kartesischen Produkts erfüllt bestimmte Eigenschaften in Bezug auf Mengenoperationen. Einige davon sind:

Eigenschaft	Symbolik
Distributivität bezüglich Vereinigung, Schnitt und Differenz von Mengen	(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C) (A \ B) × C = (A × C) \ (B × C)
Komplement des kartesischen Produkts	(A × B)ᶜ = (Aᶜ × Bᶜ) ∪ (Aᶜ × B) ∪ (A × Bᶜ)
Das kartesische Produkt zweier Mengen ist leer, wenn eine der beiden Mengen leer ist.	A × B = ϕ ↔ A = ϕ ∨ B=ϕ
Zwei Mengen A' und B' sind jeweils in A und B enthalten, genau dann, wenn ihr kartesisches Produkt im kartesischen Produkt von A und B enthalten ist.	A' ⊆ A ∧ B' ⊆ B ↔ A' × B' ⊆ A × B