Zahlenmengen

Zahlenmengen sind Gruppierungen oder Sammlungen von Zahlen, die nach ihren gemeinsamen mathematischen Eigenschaften geordnet sind. Jede Menge hat ihre eigene Definition und Eigenschaften, die sie von den anderen unterscheiden, was es ermöglicht, eine Vielzahl von mathematischen Situationen und Problemen präzise und effizient anzugehen.

Es gibt sechs grundlegende Zahlenmengen: die natürlichen (N), ganzen (Z), rationalen (Q), irrationalen (I), reellen (R) und komplexen (C) Zahlen. In der historischen Entwicklung der Mathematik wurden, um die Einschränkungen einer Zahlenmenge zu überwinden, nacheinander andere Arten von Zahlen eingeführt, die es ermöglichten, neue Probleme zu lösen. Sie können die Definition und die Merkmale jeder einzelnen Menge kennenlernen, indem Sie den entsprechenden Artikel besuchen:

Schema der Zahlenmengen

Die Zahlenmengen können wie folgt schematisch dargestellt werden.

Natürliche Zahlen

Die natürlichen Zahlen sind die Elemente der Folge 1, 2, 3, 4, … und waren die ersten, die von alten Zivilisationen zum Zählen von Objekten und zur Darstellung von Mengen verwendet wurden. Jede von ihnen hat einen um eine Einheit größeren Nachfolger, zum Beispiel ist der Nachfolger von 12 gleich 12 + 1 = 13.

Natürliche Zahlen werden verwendet, um Objekte zu zählen und diskrete Mengen darzustellen; zum Beispiel werden sie verwendet, um die Anzahl der Personen in einer Versammlung oder die Gesamtzahl der Elemente in einer Menge zu zählen. Sie ermöglichen auch die Festlegung einer sequenziellen Ordnung; zum Beispiel können sie zur Nummerierung von Positionen in einem Wettbewerb oder von Schritten in einem Prozess verwendet werden.

Die Zahl Null wird manchmal als natürliche Zahl betrachtet, da sie notwendig ist, um die Abwesenheit von zu zählenden Elementen zu kennzeichnen. Um beispielsweise auszudrücken, dass sich in einem Raum keine Schüler befinden, könnte man sagen, es sind null Schüler da. Wenn wir die Null in die natürlichen Zahlen einschließen müssen, wird dem Symbol der Menge ein Index hinzugefügt:

$$ \mathbb{N}_0=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, …\} $$

Einige Beispiele für natürliche Zahlen sind: 66, 210, 15, 50, 92, 103, 245. Alle natürlichen Zahlen sind positive Zahlen (nicht-negative, wenn die Null eingeschlossen wird).

In dieser Menge können wir die arithmetischen Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzierung und Radizieren definieren. Wir werden die Null als natürliche Zahl betrachten. Nachfolgend sehen wir die Eigenschaften dieser Operationen.

Mehr über die natürlichen Zahlen

Einschränkungen der natürlichen Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen ist in dem Sinne eingeschränkt, dass einige Operationen nicht mit zwei beliebigen natürlichen Zahlen durchgeführt werden können, da das Ergebnis möglicherweise keine natürliche Zahl ist. Zum Beispiel:

• Beim Subtrahieren zweier natürlicher Zahlen darf der Minuend nicht kleiner als der Subtrahend sein.
• Die exakte Division kann nicht durchgeführt werden, wenn der Dividend kein Vielfaches des Divisors ist.
• Die n-te Wurzel einer natürlichen Zahl kann nicht gezogen werden, wenn diese nicht selbst die n-te Potenz einer natürlichen Zahl ist.

Die Division durch Null ist ebenfalls verboten, aber das ist keine Besonderheit der natürlichen Zahlen, sondern tritt in allen Zahlenmengen auf.

Ganze Zahlen

Es gibt alltägliche Ausdrücke, die nicht mit natürlichen Zahlen angegeben werden können. Hierfür ist die Verwendung negativer Zahlen erforderlich:

• Wenn wir von Temperaturen unter null sprechen. Zum Beispiel wird 5 °C unter null als -5 °C ausgedrückt.
• Wenn wir von Schulden sprechen. Wenn wir zum Beispiel 500 € schulden, sagen wir, unser Saldo beträgt -500 €.
• Wenn wir uns auf die Stockwerke eines Gebäudes beziehen. Beispiel: Das Untergeschoss ist das Stockwerk -1.

Die ganzen Zahlen entstehen als Lösung für die Einschränkung der natürlichen Zahlen bei der Subtraktion. Die Einführung der negativen Zahlen -1, -2, -3, … ermöglicht die Durchführung der Subtraktion a - b, auch wenn a kleiner als b ist. Wir integrieren die negativen Zahlen und die Null in die natürlichen Zahlen, um eine neue Zahlenmenge zu bilden.

Einige Beispiele für ganze Zahlen sind: -40, 2, 0, 27, -34, 18.

Die Operationen mit ganzen Zahlen sind so definiert, dass immer dann, wenn es sich um positive Zahlen handelt, die Definitionen und Eigenschaften der natürlichen Zahlen erhalten bleiben. So wird beim Addieren zweier ganzer Zahlen, wenn beide dasselbe Vorzeichen haben, dieses Vorzeichen gesetzt und die Summe der entsprechenden natürlichen Zahlen gebildet. Haben sie unterschiedliche Vorzeichen, wird das Vorzeichen der größeren Zahl vorangestellt und die Zahlen werden subtrahiert. Für das Produkt und den Quotienten gilt die Vorzeichenregel: Faktoren mit gleichem Vorzeichen ergeben ein positives Produkt, Faktoren mit unterschiedlichem Vorzeichen ein negatives Produkt.

Mehr über die ganzen Zahlen

Einschränkungen der ganzen Zahlen

Wenn man mit ganzen Zahlen Additionen, Subtraktionen oder Multiplikationen durchführt, erhält man immer ganze Zahlen. Wir behalten jedoch weiterhin Einschränkungen der natürlichen Zahlen bei und es kommt eine neue hinzu:

• Die exakte Division kann nicht durchgeführt werden, wenn der Dividend kein Vielfaches des Divisors ist.
• Die n-te Wurzel einer ganzen Zahl kann nicht gezogen werden, wenn diese nicht selbst die n-te Potenz einer ganzen Zahl ist. Außerdem existieren die Wurzeln mit geradem Index von negativen Zahlen nicht.

Teilmengen der ganzen Zahlen

Aus der Menge der ganzen Zahlen können wir eine Reihe von Teilmengen definieren:

• Positive ganze Zahlen *\mathbb{Z}^+:* sind alle natürlichen ganzen Zahlen. *\mathbb{Z}^+=\{1,2,3,4,...\}.*
• Negative ganze Zahlen *\mathbb{Z}^-:* sind alle negativen Zahlen, die den natürlichen Zahlen entgegengesetzt sind. *\mathbb{Z}^-=\{-1,-2,-3,-4,...\}.*
• Nicht-negative ganze Zahlen *\mathbb{Z}^{+}_0:* sind alle positiven ganzen Zahlen plus die Null. *\mathbb{Z}^{+}_0=\{0,1,2,3,4,5,...\}.*
• Nicht-positive ganze Zahlen *\mathbb{Z}^{-}_0:* sind alle negativen ganzen Zahlen plus die Null. *\mathbb{Z}^{+}_0=\{0,-1,-2,-3,-4,-5,...\}.*
• Ganze Zahlen ohne die Null: *\mathbb{Z}^{*}=\{-2,-1,1,2,3,...\}*

Hinweis: Die Notationen der Teilmengen bleiben in den folgenden Zahlenmengen bis zu den reellen Zahlen erhalten. Um die positiven Zahlen anzugeben, wird dem Symbol der Menge ein hochgestelltes + hinzugefügt; um die negativen Zahlen anzugeben, wird ein hochgestelltes - hinzugefügt; um die Einbeziehung der Null anzugeben, wird eine 0 als Index hinzugefügt; um die Abwesenheit der Null anzugeben, wird ein Sternchen als Exponent hinzugefügt.

Rationale Zahlen

Die Einführung der Bruchzahlen a / b ermöglicht die Durchführung exakter Quotienten a ÷ b zwischen ganzen Zahlen, auch in Fällen, in denen a kein Vielfaches von b ist. Die ganze Zahl a wird Zähler genannt, und die ganze Zahl b, die nicht 0 sein darf, wird Nenner genannt.

Bruchzahlen dienen unter anderem dazu, Teile einer Gesamtmenge darzustellen, zum Beispiel bedeutet 1/4 Kuchen ein Stück eines Kuchens, der in 4 gleiche Teile geteilt wurde. Brüche sind auch wesentlich, um Verhältnisse und Raten auszudrücken, wie Zinssätze, Wachstumsraten und Beziehungen zwischen Mengen.

Einige Beispiele für rationale Zahlen sind: 1/2, 3/4, -5/3, 27/7.

Eine ganze Zahl kann als Bruch mit dem Nenner 1 geschrieben werden, was uns erlaubt zu sagen, dass jede ganze Zahl rational ist. Bevor wir die Operationen zwischen Brüchen definieren, betonen wir die Eigenschaft der Gleichheit:

*\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}* genau dann, wenn *ad=bc*

Diese Beziehung besagt, dass zwei Bruchzahlen gleich sind, wenn ihre Kreuzprodukte gleich sind. Zwei Brüche, die diese Bedingung erfüllen, werden als äquivalente Brüche bezeichnet. Zum Beispiel ist *1/2* äquivalent zu *6/12,* weil *1\cdot 12=2\cdot 6.*

Um einen äquivalenten Bruch zu einem gegebenen Bruch zu erhalten, können wir Zähler und Nenner mit derselben ganzen Zahl multiplizieren. Wir können auch Zähler und Nenner durch dieselbe ganze Zahl teilen, vorausgesetzt, diese ist ein Teiler von beiden.

Mehr über rationale Zahlen

Operationen mit rationalen Zahlen

*\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}*

*\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad-bc}{bd}*

*\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}*

*\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{d}{c}=\dfrac{a\cdot d}{b\cdot c}*

*\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}*

*\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}*

Einschränkungen der rationalen Zahlen

Wenn man Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen und Divisionen (außer der Division durch Null) zwischen rationalen Zahlen durchführt, erhält man immer eine rationale Zahl. Wir behalten jedoch eine wichtige Einschränkung bei:

• Die n-te Wurzel einer rationalen Zahl kann nicht gezogen werden, wenn diese nicht selbst die n-te Potenz einer rationalen Zahl ist. Auch die Wurzeln mit geradem Index von negativen Zahlen haben keine Lösung.

Teilmengen der rationalen Zahlen

Ähnlich wie bei den ganzen Zahlen können wir eine Reihe von Teilmengen definieren, die häufig verwendet werden.

• Positive rationale Zahlen: *\mathbb{Q}^+=\left\{\dfrac{a}{b}~\text{sodass}~\dfrac{a}{b}>0\right\}*
• Negative rationale Zahlen: *\mathbb{Q}^-=\left\{\dfrac{a}{b}~\text{sodass}~\dfrac{a}{b}<0\right\}*
• Nicht-negative rationale Zahlen: *\mathbb{Q}^+_0=\left\{\dfrac{a}{b}~\text{sodass}~\dfrac{a}{b}≥0\right\}*
• Nicht-positive rationale Zahlen: *\mathbb{Q}^-_0=\left\{\dfrac{a}{b}~\text{sodass}~\dfrac{a}{b}≤0\right\}*
• Rationale Zahlen ohne die Null: *\mathbb{Q}^{*}=\left\{\dfrac{a}{b}~\text{sodass}~\dfrac{a}{b}≠0\right\}*

Dezimalzahlen

Dezimalzahlen bilden keine eigene Menge, sondern sind eine Darstellungsform für Zahlen. Manchmal werden rationale Zahlen als Dezimalzahlen dargestellt. Zum Beispiel können die Zahlen 3/4, 5/2, -2/3 und 7/66 als Dezimalzahlen dargestellt werden, indem man einfach die Division durchführt:

*\dfrac{3}{4}= 0,75*

*\dfrac{5}{2} = 2,5*

*-\dfrac{2}{3}=-0,6666… = -0, \overline{6}*

*\dfrac{7}{66}=0,1060606…=0,1 \overline{06}*

Wir beobachten, dass die Dezimaldarstellung von 3/4 und 5/2 endet oder endlich ist; diese werden als endliche Dezimalzahlen bezeichnet. Die Dezimaldarstellung der beiden anderen Zahlen endet nicht, aber es ist ein Wiederholungsmuster erkennbar. Bei -2/3 wiederholt sich die 6 unendlich, wie der Strich darüber anzeigt; bei 7/66 wiederholt sich der Block 06 unendlich, wie der Strich über der 06 anzeigt. Diese beiden letzten werden als periodische Dezimalzahlen bezeichnet.

Es kann bewiesen werden, dass jede rationale Zahl durch eine endliche oder eine unendliche periodische Dezimalzahl dargestellt werden kann, und umgekehrt.

Irrationale Zahlen

Es gibt Zahlen, deren Dezimaldarstellung in keine der beiden oben genannten Kategorien fällt, das heißt, sie sind weder endliche noch periodische Dezimalzahlen, sondern haben unendlich viele Dezimalstellen, die keinem Muster folgen.

Diese Zahlen können nicht als Brüche geschrieben werden, daher sind sie nicht rational, sondern eine andere Art von Zahlen, die als irrationale Zahlen bezeichnet werden. Mit anderen Worten, irrationale Zahlen sind solche, die nicht als Bruch a / b geschrieben werden können, wobei a und b ganze Zahlen sind und b ungleich Null ist.

Irrationale Zahlen treten auf natürliche Weise auf. Betrachten wir zum Beispiel ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten die Länge 1 haben, so misst die Hypotenuse *\sqrt{2}*, eine irrationale Zahl.

Einige berühmte irrationale Zahlen sind:

• *π=3,14159265…* das das Verhältnis zwischen dem Umfang eines Kreises und seinem Durchmesser darstellt.
• *e=2,71828182…* die Basis der natürlichen Logarithmen.
• *ϕ=1,61803399…* der Goldene Schnitt.

Mehr über die irrationalen Zahlen

Reelle Zahlen

Bisher haben wir zwei große Gruppen von Zahlen: die rationalen und die irrationalen. Die ersteren können als Bruch geschrieben werden und umfassen die ganzen und natürlichen Zahlen; die zweite Gruppe enthält alle Zahlen, die nicht als Bruch geschrieben werden können.

Die reellen Zahlen ermöglichen es, Wurzeln zu lösen, die mit den rationalen Zahlen nicht gelöst werden konnten, zum Beispiel: *\sqrt{2},~~\sqrt{\dfrac{5}{3}},~~\sqrt[3]{7}* sind reelle Zahlen.

Mehr über die reellen Zahlen

Einschränkungen der reellen Zahlen

Die ganzen Zahlen dienten zur Lösung von Subtraktionen, bei denen der Minuend kleiner als der Subtrahend ist. Mit der Einführung der rationalen Zahlen lösten wir Divisionen, die keine ganzzahligen Ergebnisse lieferten. Nun, mit den reellen Zahlen, die die rationalen und irrationalen Zahlen umfassen, lösen wir ein Problem mit den n-ten Wurzeln, da es nicht mehr notwendig ist, n-te Potenzen als Radikanden zu haben, damit das Ergebnis zur selben Menge gehört.

Es gibt jedoch immer noch eine Einschränkung im Zusammenhang mit Wurzeln: Man kann keine Wurzeln mit geradem Index aus negativen Zahlen ziehen. Zum Beispiel hat *\sqrt{-16}* keine Lösung in der Menge der reellen Zahlen, da es keine reelle Zahl gibt, die zum Quadrat *-16* ergibt. Um diese Einschränkung zu überwinden, gehen wir zur letzten Zahlenmenge über.

Teilmengen der reellen Zahlen

• Positive reelle Zahlen: *\mathbb{R}^+=\{x~\text{sodass x reell ist und}~x>0\}*
• Negative reelle Zahlen: *\mathbb{R}^-=\{x~\text{sodass x reell ist und}~x<0\}*
• Nicht-negative reelle Zahlen: *\mathbb{R}^+_0=\{x~\text{sodass x reell ist und}~x≥0\}*
• Nicht-positive reelle Zahlen: *\mathbb{R}^-_0=\{x~\text{sodass x reell ist und}~x≤0\}*
• Reelle Zahlen ohne die Null: *\mathbb{R}^{*}=\{x~\text{sodass x reell ist und}~x≠0\}*

Komplexe Zahlen

Um die zuvor genannten Einschränkungen zu überwinden, führen wir eine neue Zahlenmenge ein, die die reellen Zahlen enthält und es außerdem ermöglicht, Wurzeln mit geradem Index aus negativen Zahlen zu ziehen. Wir beginnen mit der Definition einer neuen Zahl, die imaginäre Einheit genannt und mit dem Buchstaben i dargestellt wird und die folgende Eigenschaft erfüllt:

*i^2=-1*

Beachten Sie, dass i keine reelle Zahl ist, da keine reelle Zahl zum Quadrat ein negatives Ergebnis liefert.

Zahlen der Form *b\cdot i,* abgekürzt als *bi,* wobei *b* eine beliebige reelle Zahl ist, werden imaginäre Zahlen genannt. Binome der Form *a+bi*, wobei *a* und *b* reelle Zahlen sind, werden komplexe Zahlen genannt. Diese komplexen Zahlen enthalten als Sonderfälle die reellen Zahlen (wenn b=0) und die imaginären Zahlen (wenn a=0). Wenn a=b=0, erhält man die Null.

In der komplexen Zahl *a+bi,* wird die Zahl *a* als Realteil und die Zahl *b* als Imaginärteil bezeichnet. Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn ihre entsprechenden Real- und Imaginärteile übereinstimmen.

*a+bi=c+di* genau dann, wenn *a=c* und *b=d*

Eine Wurzel mit geradem Index einer negativen Zahl kann in dieser Zahlenmenge umgeschrieben und gelöst werden, unter Berücksichtigung, dass *i^2=-1.* Zum Beispiel:

*\sqrt{-4}=\sqrt{4\cdot (-1)}=\sqrt{4\cdot i^2}=\sqrt{4}\sqrt{i^2}=2i*

Dieses Ergebnis ist sinnvoll, da *(2i)^2=2^2\cdot i^2=4\cdot (-1)=-4*

Unter Berücksichtigung dessen ist die Einschränkung der reellen Zahlen bezüglich der Wurzeln mit geradem Index von negativen Zahlen überwunden.

Komplexe Zahlen haben verschiedene Anwendungen sowohl in der Mathematik als auch in der Wissenschaft; sie dienen unter anderem:

• Zur Darstellung von Spannungen, Strömen und Komponenten in elektrischen Schaltungen und Steuerungssystemen.
• Zur Beschreibung von Wellenphänomenen, wie dem Verhalten elektromagnetischer Wellen und Schwingungen in mechanischen Systemen.

Addition komplexer Zahlen

Beispiel:

*(2-4i) + (6+i)=*

*=(2+6) + (-4+1)i*

*=8-3i*

Multiplikation komplexer Zahlen

Es ist nicht notwendig, die Definition auswendig zu lernen, man kann einfach das Distributivgesetz anwenden und daran denken, dass *i^2=-1* ist.

Beispiel:

*(2+3i)(4-5i)=*

*=2\cdot 4+(2)(-5i)+(3i)(4)+(3i)(-5i)*

*= 8-10i+12i+(-3\cdot 5)i^2 *

*= 8+2i + (-15)(-1)*

*= 8+2i+15*

*= 23+2i*

Gemäß diesen Definitionen wird das Ergebnis der Addition oder Multiplikation zweier komplexer Zahlen immer eine weitere komplexe Zahl sein. Es kann auch gezeigt werden, dass diese Operationen kommutativ und assoziativ sind und dass die Multiplikation distributiv bezüglich der Addition ist; das heißt, wenn *u, v, w* komplexe Zahlen sind, dann:

*u+v=v+u*

*uv=vu*

*(u+v)+w=u+(v+w)*

*(uv)w=u(vw)*

*u(v+w)=uv+uw*

Außerdem ist das neutrale Element für die Addition die 0, die als *0+0i* ausgedrückt werden kann. Das additive Inverse der komplexen Zahl *a+bi* ist die komplexe Zahl *-a-bi,* denn

*(a+bi)+(-a-bi)=[a+(-a)]+[b+(-b)]i=0+0i*

Das multiplikative Inverse (oder der Kehrwert) der komplexen Zahl *a+bi* ist definiert als *\dfrac{1}{a+bi}.* Somit gilt:

*(a+bi)\cdot \dfrac{1}{a+bi}=1*

Division komplexer Zahlen

Zum Beispiel:

*\dfrac{2+3i}{5-4i}=*

*=\dfrac{(2+3i)(5+4i)}{(5-4i)(5+4i)}*

*=\dfrac{10+8i+15i+12i^2}{5^2-(4i)^2} *

*=\dfrac{10+23i-12}{25-16i^2} *

*=\dfrac{-2+23i}{25+16} *

*=\dfrac{-2+23i}{41}*

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass wir durch die Einführung der komplexen Zahlen die Einschränkung der reellen Zahlen überwunden haben und mit ihnen die "verbotenen" Operationen, mit Ausnahme der Division durch Null, aufgehoben sind. Man könnte also über eine weitere Erweiterung des Zahlenbereichs nachdenken, um diese Einschränkung aufzuheben; aber es gibt einen Satz, den Fundamentalsatz der Algebra, der besagt, dass die größte existierende Zahlenmenge die der komplexen Zahlen ist.