Rationale Zahlen

Die rationalen Zahlen sind jene Zahlen, die als Quotient (Division) zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden können. Mit anderen Worten, rationale Zahlen sind Brüche der Form a/b, wobei a und b ganze Zahlen sind und b nicht null ist. Einige Beispiele sind: 1/2, 3/4, -5/6, 29/3, 10/1, -7/2.

Ein wichtiges Merkmal der rationalen Zahlen ist, dass ihre Dezimaldarstellung entweder endlich oder unendlich periodisch ist, was bedeutet, dass sich eine Gruppe ihrer Ziffern wiederholt. Alle natürlichen und ganzen Zahlen sind ebenfalls rationale Zahlen.

Warum gibt es rationale Zahlen?

Die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen reichen nicht aus, um Beziehungen zwischen einem Teil und dem Ganzen darzustellen. Wenn wir zum Beispiel eine Tafel in drei gleiche Teile teilen, gibt es keine ganze Zahl, die einen dieser Teile repräsentiert. Mathematisch gesehen können Gleichungen wie 3x=1 nicht mit ganzen Zahlen gelöst werden.

Aufgrund dieser Einschränkungen entsteht das Konzept der Brüche, welche Ausdrücke der Form *\dfrac{a}{b},* sind, wobei a und b ganze Zahlen sind und b von null verschieden ist. Die Zahl a wird als Zähler bezeichnet und stellt die Anzahl der gleichen Teile dar, die von einem Ganzen genommen werden. Die Zahl b wird als Nenner bezeichnet und stellt die Anzahl der gleichen Teile dar, in die ein Ganzes geteilt wird.

Diese neuen Zahlen ermöglichen es uns, die Beziehungen zwischen einem Teil und einem Ganzen auszudrücken. Zum Beispiel:

• Wenn eine Tafel Schokolade in drei gleiche Teile geteilt wird, stellt jeder Teil 1/3 des Ganzen dar.
• Wenn 10 Bonbons auf 5 Personen verteilt werden sollen, erhält jede Person 10/5 des Ganzen, was 10:5=2 Bonbons pro Person entspricht.
• Ein Tag hat 24 Stunden, daher stellen 18 Stunden 3/4 des Tages dar. Der Tag wurde in 4 Teile zu je 6 Stunden aufgeteilt.
• Die Gleichung *3x=1* hat den Bruch *x=\dfrac{1}{3}* als Lösung, weil *3\cdot \dfrac{1}{3}=1.*

Die Menge der rationalen Zahlen

Jede ganze Zahl ist ein Bruch mit dem Nenner 1. Zum Beispiel: 3=3/1, -4=-4/1, 0=0/1. Daher sind alle ganzen Zahlen auch rationale Zahlen. Außerdem sind alle rationalen Zahlen reelle Zahlen.

Weitere Beispiele für rationale Zahlen sind: *\dfrac{5}{8},-\dfrac{100}{5},\dfrac{40}{97},-\dfrac{1}{7}, \dfrac{2}{5}, -\dfrac{20}{14}.*

Eigenschaften der rationalen Zahlen

Die Menge Q hat die folgenden Eigenschaften und Merkmale:

1. Sie ist unendlich: Es gibt eine unbegrenzte Anzahl von rationalen Zahlen. Es können immer neue Brüche erzeugt werden.
2. Sie hat kein erstes oder letztes Element: Es gibt keine rationale Zahl, die kleiner als alle anderen ist, und keine, die die größte ist.
3. Sie ist eine dichte Menge: Zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen gibt es immer unendlich viele weitere rationale Zahlen. Das bedeutet auch, dass es im Gegensatz zu den ganzen Zahlen keine Nachfolger und Vorgänger gibt.
4. Sie ist keine stetige oder vollständige Menge: Die rationalen Zahlen füllen den Zahlenstrahl nicht vollständig aus; es gibt "Lücken" oder "leere Stellen" auf diesem Strahl, die nicht von rationalen Zahlen besetzt sind. Diese Lücken werden von den irrationalen Zahlen eingenommen, wie *\sqrt{2}* oder *\pi,* die nicht als Brüche dargestellt werden können.
5. Sie ist eine geordnete Menge: Die rationalen Zahlen sind total geordnet, was bedeutet, dass wir immer feststellen können, ob ein Bruch größer, kleiner oder gleich einem anderen ist. Insbesondere gilt für zwei Brüche *\dfrac{a}{b}* und *\dfrac{c}{d},* dass *\dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d}* genau dann, wenn *ad<bc.*
6. Dezimaldarstellung: Jede rationale Zahl kann als endliche oder periodische Dezimalzahl ausgedrückt werden.

Dezimaldarstellung

Wie bereits erwähnt, kann jede rationale Zahl in Dezimalform ausgedrückt werden. Dazu teilt man den Zähler durch den Nenner. Zum Beispiel *\dfrac{3}{10}=0,3;~\dfrac{9}{4}=2,25.* Diese Zahlen mit einer endlichen Anzahl von Dezimalstellen werden als endliche oder abbrechende Dezimalzahlen bezeichnet.

Es gibt andere rationale Zahlen, deren Dezimaldarstellung nicht endlich, sondern sich wiederholend ist. Sie haben unendlich viele Dezimalstellen und werden als periodische Dezimalzahlen bezeichnet. Zum Beispiel wird *\dfrac{1}{3}* als *0,3333...* dargestellt, wobei sich die Ziffer 3 wiederholt, und *\dfrac{47}{11}* kann als *4,2727272...* dargestellt werden, wobei sich die Ziffern 2 und 7 in dieser Reihenfolge wiederholen. Die Ziffer oder Zifferngruppe, die sich wiederholt, wird als Periode bezeichnet.

Innerhalb der periodischen Dezimalzahlen unterscheiden wir zwei Gruppen: 

• Die rein-periodischen Dezimalzahlen: solche, bei denen die Periode unmittelbar nach dem Komma beginnt. Beispiel: *1,3333333…* 
• Die gemischt-periodischen Dezimalzahlen: solche, die nach dem Komma einige Ziffern haben, die sich nicht wiederholen und die sogenannte Vorperiode bilden. Beispiel: *1,06666…* (die 0 ist nicht Teil der Periode).

Eine kompaktere Schreibweise für periodische Dezimalzahlen, ohne auf die Auslassungspunkte zurückgreifen zu müssen, ist das Setzen eines Strichs über die sich wiederholenden Ziffern. Zum Beispiel:

*\dfrac{1}{3}=0,3333...=0,\overline{3}*

*\dfrac{2}{3}=0,6666...=0,\overline{6}*

*\dfrac{16}{15}=1,06666...=1,0\overline{6}*

Wir können also vier Arten von rationalen Zahlen definieren: ganze Zahlen (solche mit Nenner 1), endliche Dezimalzahlen, rein-periodische Dezimalzahlen und gemischt-periodische Dezimalzahlen.

Darstellung auf dem Zahlenstrahl

Rationale Zahlen können auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden.

Es ist unmöglich, alle Brüche darzustellen, da sie unendlich viele sind. Dennoch füllen die rationalen Zahlen den Zahlenstrahl nicht vollständig aus, da leere Stellen verbleiben, die den irrationalen Zahlen entsprechen.

Rechenoperationen mit rationalen Zahlen

Die grundlegenden Rechenoperationen mit rationalen Zahlen sind Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Wir definieren jede von ihnen.

Addition und Subtraktion: *\dfrac{a}{b}±\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad±bc}{bd}*

Multiplikation: *\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}*

Division: *\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad}{bc}*

Weitere Details zu jeder Operation und Beispiele findest du in diesem Artikel:

Eigenschaften der Rechenoperationen

Wir werden kurz die Eigenschaften der Rechenoperationen mit rationalen Zahlen erläutern.

1) Abgeschlossenheit: Wenn eine Operation zwischen zwei rationalen Zahlen durchgeführt wird, ist das Ergebnis ebenfalls eine rationale Zahl. Es ist wichtig zu beachten, dass die Division durch null nicht erlaubt ist.

2) Kommutativgesetz: Die Reihenfolge der Zahlen beeinflusst das Ergebnis nicht. Dies gilt für die Addition und die Multiplikation.

*\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{c}{d}+\dfrac{a}{b}*

*\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{c}{d}\cdot \dfrac{a}{b}*

3) Assoziativgesetz: Die Gruppierung der Zahlen beeinflusst das Ergebnis nicht. Dies gilt für die Addition und die Multiplikation.

*\dfrac{a}{b}+\left(\dfrac{c}{d}+\dfrac{e}{f}\right)=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\right)+\dfrac{e}{f}*

*\dfrac{a}{b}\cdot \left(\dfrac{c}{d}\cdot\dfrac{e}{f}\right)=\left(\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}\right)\cdot \dfrac{e}{f}*

4) Distributivgesetz: Die Multiplikation verteilt sich über die Addition.

*\dfrac{a}{b}\cdot \left(\dfrac{c}{d}+\dfrac{e}{f}\right)=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}+\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{e}{f}*

5) Neutrales Element: Es gibt ein neutrales Element für die Addition und die Multiplikation bei den rationalen Zahlen.

• Für die Addition ist das neutrale Element *\dfrac{0}{1},* da *\dfrac{a}{b}+\dfrac{0}{1}=\dfrac{a}{b}.*
• Für die Multiplikation ist das neutrale Element *\dfrac{1}{1},* denn *\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{1}{1}=\dfrac{a}{b}.*

6) Inverse Elemente: Es gibt inverse Elemente für die Addition und die Multiplikation.

• Für die Addition ist das inverse Element eines Bruchs *\dfrac{a}{b}* der Bruch *-\dfrac{a}{b},* weil *\dfrac{a}{b}+\left(-\dfrac{a}{b}\right)=0*
• Für die Multiplikation ist das inverse Element eines Bruchs *\dfrac{a}{b}* der Bruch *\dfrac{b}{a},* weil *\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{b}{a}=1*

Grenzen der rationalen Zahlen

Die Begrenzung der rationalen Zahlen hängt damit zusammen, dass sie nicht alle Lücken auf dem Zahlenstrahl füllen können. Tatsächlich gibt es Zahlen, die nicht als Brüche ausgedrückt werden können; diese werden irrationale Zahlen genannt. Einige Beispiele für diese Begrenzung sind:

• Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die Länge 1 haben, kann nicht als rationale Zahl ausgedrückt werden. Die Anwendung des Satzes des Pythagoras führt dazu, dass die Hypotenuse die Länge *\sqrt{2}* hat, was keine rationale Zahl ist.
• Es gibt keine rationale Zahl, die die Gleichung *x^2=3* löst, da eine der Lösungen *\sqrt{3}* ist, was keine rationale Zahl ist.
• Das Verhältnis zwischen dem Umfang und dem Durchmesser eines Kreises ist keine rationale Zahl. Diese Zahl ist *\pi,* eine bekannte irrationale Zahl.

Um diese Einschränkungen zu überwinden, wird eine umfassendere Zahlenmenge eingeführt: die der reellen Zahlen. Diese Menge umfasst sowohl die Zahlen, die als Bruch geschrieben werden können (rationale Zahlen), als auch diejenigen, die dies nicht können (irrationale Zahlen).