Mächtigkeit von Mengen

Die Mächtigkeit einer Menge ist die Anzahl der verschiedenen Elemente, die diese Menge enthält. Die Mächtigkeit einer Menge A wird mit |A| oder Card(A) bezeichnet.

Zum Beispiel hat die Menge A = {a, b, c} drei Elemente, weshalb ihre Mächtigkeit oder Größe diese Zahl ist: |A| = 3. Die Menge B = {1, 2, 1} hat zwei verschiedene Elemente, da die „1“ zweimal geschrieben wurde, daher ist |B| = 2. 

Wenn zwei Mengen die gleiche Mächtigkeit haben, dann nennt man sie gleichmächtig. Zum Beispiel haben die Mengen C = {6, 9, 0} und D = {p, q, r} beide drei verschiedene Elemente, sind also gleichmächtig, und wir können schreiben |C| = |D|.

Die Mächtigkeit einer Menge kann endlich oder unendlich sein. Bei endlichen Mengen, wie in den vorherigen Fällen, ist die Mächtigkeit eine nichtnegative ganze Zahl, die die Anzahl der unterschiedlichen Elemente angibt. Bei unendlichen Mengen, wie den Zahlenmengen, wird eine spezielle Symbolik verwendet.  

Mächtigkeit einer endlichen Menge

Um die Mächtigkeit einer endlichen Menge zu berechnen, zählt man einfach die Anzahl der eindeutigen Elemente, die sie enthält.

Beispiele

• A = {1, 2, 3, 4, 4, 5} hat fünf verschiedene Elemente, da das Element „4“ zweimal vorkommt und somit nur einmal gezählt wird. Daher ist die Mächtigkeit von A gleich 5: |A| = 5.
• B = {-1, 5, 3, 7} hat vier eindeutige Elemente, daher ist ihre Mächtigkeit diese Zahl: |B| = 4.
• C = {grün, blau, lila, blau} hat drei eindeutige Elemente („blau“ kommt zweimal vor und wird nur einmal gezählt), daher ist |C| = 3.
• D = {3, a, e, i, o, u, 3, o, 3} hat sechs verschiedene Elemente, da „3“ und „o“ mehr als einmal vorkommen und nur einmal gezählt werden. Die Mächtigkeit ist also sechs: |D| = 6. 

Wenn die Menge in beschreibender Form gegeben ist, muss man sie zuerst (falls möglich) in aufzählender Form schreiben, um ihre Elemente zu zählen und so ihre Mächtigkeit zu bestimmen. 

Beispiele

• J = {x | x ist ein Buchstabe des Wortes „Samstag“} ist in beschreibender Form gegeben. In aufzählender Form geschrieben ist es J = {s, a, m, s, t, a, g}, was fünf verschiedene Elemente hat, da einige Buchstaben mehrfach vorkommen. Also: |J| = 5.
• Die Menge E = { x | x+1 = 3 } ist in beschreibender Form gegeben. Ihre Entsprechung in aufzählender Form ist E = {2}, die nur ein einziges Element enthält, also ist ihre Mächtigkeit eins: |E| = 1. Mengen, deren Mächtigkeit gleich 1 ist, werden als Einermengen bezeichnet. In diesem Beispiel ist E eine Einermenge.

Eigenschaften

Die Mächtigkeit einer endlichen Menge erfüllt einige Eigenschaften, die bei ihrer Berechnung nützlich sein können. 

1) Mächtigkeit der leeren Menge

Die Mächtigkeit der leeren Menge ist null, d.h. |Ø| = 0. Dies ist offensichtlich, da die leere Menge keine Elemente enthält.

2) Mächtigkeit einer Teilmenge

Wenn eine Menge A eine Teilmenge einer anderen Menge B ist, dann ist die Mächtigkeit von A kleiner oder gleich der Mächtigkeit von B. Symbolisch ausgedrückt: Wenn A ⊆ B, dann |A| ≤ |B|.

Wenn A eine echte Teilmenge von B ist, dann ist die Mächtigkeit von A echt kleiner als die Mächtigkeit von B. In Symbolen: Wenn A ⊂ B, dann |A| < |B|.

3) Mächtigkeit der Vereinigung

Die Mächtigkeit der Vereinigung zweier Mengen ist die Summe der einzelnen Mächtigkeiten abzüglich der Mächtigkeit ihrer Schnittmenge. In Symbolen: 

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

Wenn die Mengen A und B disjunkt sind (d.h. keine gemeinsamen Elemente haben), dann ist die Mächtigkeit ihrer Vereinigung einfach die Summe ihrer einzelnen Mächtigkeiten, d.h. 

|A ∪ B| = |A| + |B|

4) Mächtigkeit der Schnittmenge

Die Mächtigkeit der Schnittmenge zweier Mengen ist die Summe der einzelnen Mächtigkeiten abzüglich der Mächtigkeit ihrer Vereinigung. Das heißt:

|A ∩ B| = |A| + |B| - |A ∪ B|

Wenn A und B disjunkte Mengen sind, dann ist die Mächtigkeit ihrer Schnittmenge null.

5) Mächtigkeit der Differenz

Die Mächtigkeit der Differenz zwischen zwei Mengen A und B ist gleich der Mächtigkeit von A abzüglich der Mächtigkeit der Schnittmenge von A und B, das heißt:

|A \ B| = |A| - |A ∩ B|.

6) Mächtigkeit des Komplements

Die Mächtigkeit des Komplements einer Menge ist gleich der Mächtigkeit der Grundmenge abzüglich der Mächtigkeit der Menge, das heißt,

|Aᶜ| = |U| - |A| 

7) Mächtigkeit eines kartesischen Produkts 

Die Mächtigkeit des kartesischen Produkts zweier Mengen A und B ist das Produkt ihrer jeweiligen Mächtigkeiten, das heißt:

|A × B| = |A| ⋅ |B|

8) Mächtigkeit einer Potenzmenge

Die Mächtigkeit einer Potenzmenge ist gleich 2 hoch der Anzahl der Elemente der Menge. Wenn eine Menge n Elemente hat, dann ist die Mächtigkeit ihrer Potenzmenge 2ⁿ.

Mächtigkeit einer unendlichen Menge

Die Mächtigkeit einer unendlichen Menge wird mit speziellen Symbolen ausgedrückt, da die Anzahl der Elemente nicht gezählt werden kann. Mathematisch ausgedrückt ist die Mächtigkeit einer unendlichen Menge eine transfinite Kardinalzahl.

Zum Beispiel wird die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen mit ℵ₀ (Aleph-Null) symbolisiert. Die Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen wird mit c (Kontinuum) oder auch ℵ₁ (Aleph-Eins) symbolisiert.

Intuitiv könnte man annehmen, dass alle unendlichen Mengen die gleiche Anzahl an Elementen haben, eben weil sie unendlich sind. Dies ist jedoch nicht der Fall, und es lässt sich beweisen, dass es unendliche Mengen gibt, die „größer“ sind als andere unendliche Mengen. Insbesondere hat die Menge der reellen Zahlen mehr Elemente als die Menge der natürlichen Zahlen: c > ℵ₀.

Es lässt sich auch beweisen, dass unendliche Mengen, die scheinbar mehr Elemente als andere haben, tatsächlich die gleiche Anzahl besitzen. So sind die Mächtigkeiten der Menge der ganzen Zahlen und der Menge der rationalen Zahlen gleich der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen: |Q| = |Z| = |N| = ℵ₀. Ebenso haben zwei beliebige Intervalle reeller Zahlen die gleiche Anzahl an Elementen: c.