Logische Gesetze

Ein logisches Gesetz (auch Tautologie genannt) ist eine zusammengesetzte Aussage, die immer wahr ist, unabhängig vom Wahrheitswert der Teilaussagen, aus denen sie besteht. Diese Gesetze stellen universelle Prinzipien der Logik dar, da sie Äquivalenzen und Beziehungen ausdrücken, die in jedem möglichen Fall gelten.

Ihr Nutzen liegt darin, dass sie es ermöglichen, logische Ausdrücke umzuformen und zu vereinfachen sowie strenge Beweise in Mathematik und Philosophie zu konstruieren. Um zu überprüfen, ob eine Aussage ein logisches Gesetz ist, genügt es, ihre Wahrheitstafel zu erstellen, in der nachgewiesen werden muss, dass sie für alle möglichen Wertekombinationen als wahr erscheint.

Grundlegende Gesetze

Die grundlegenden Gesetze der Logik stellen die Grundprinzipien des rationalen Denkens dar. Es handelt sich um universelle Regeln, die die Kohärenz und Gültigkeit von Argumentationen gewährleisten und als Ausgangspunkt für die gesamte weitere Entwicklung der formalen Logik dienen. Diese Gesetze sind keine bloßen Konventionen, sondern drücken notwendige Bedingungen dafür aus, dass Wissen rigoros kommuniziert, diskutiert und begründet werden kann.

Identitätsgesetze

Sie besagen, dass jede Aussage mit sich selbst identisch ist. Es wird festgestellt, dass, wenn eine Aussage wahr ist, sie wahr ist, und wenn sie falsch ist, sie falsch ist. Dieses Prinzip stellt sicher, dass ein Konzept oder eine Aussage seinen Wahrheitswert im Laufe einer Argumentation nicht ändern kann.

p ≡ p

p → p

Beispiele: „Ein Hund ist ein Hund“, „Wenn es regnet, dann regnet es“.

Satz vom Widerspruch

Es ist unmöglich, dass eine Aussage gleichzeitig und unter denselben Umständen wahr und falsch ist. Dieses Prinzip ist entscheidend, um Widersprüche in der Argumentation zu vermeiden.

¬ (p ∧ ¬p)

Beispiel: „Es ist unmöglich, dass es gleichzeitig regnet und nicht regnet“.

Satz vom ausgeschlossenen Dritten

Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch, eine dritte Möglichkeit gibt es nicht. Dieses Prinzip ist die Grundlage für die Fallunterscheidung und den Beweis durch Widerspruch (reductio ad absurdum).

p ∨ ¬p

Beispiel: „Dieses Tier ist entweder ein Hund oder es ist kein Hund.“

Hauptgesetze der Aussagenlogik

Die Gesetze der Aussagenlogik, auch als logische Äquivalenzen bekannt, sind grundlegende Prinzipien, die die Handhabung und Vereinfachung von Aussagen regeln. Diese Gesetze stellen Äquivalenzbeziehungen zwischen logischen Formeln her, was es ermöglicht, einen Ausdruck durch einen anderen zu ersetzen, ohne seinen Wahrheitswert zu verändern.

Name	Notation	Beschreibung
Involution oder doppelte Negation	¬(¬p) ≡ p	Die Negation der Negation einer Aussage ist äquivalent zur Aussage selbst.
De Morgansches Gesetz für die Konjunktion	¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q	Die Negation einer Konjunktion ist äquivalent zur Disjunktion der Negationen.
De Morgansches Gesetz für die Disjunktion	¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q	Die Negation einer Disjunktion ist äquivalent zur Konjunktion der Negationen.
Kommutativgesetz	p ∨ q ≡ q ∨ p p ∧ q ≡ q ∧ p	Die Reihenfolge der Aussagen ändert das Ergebnis einer Konjunktion oder Disjunktion nicht.
Assoziativgesetz	p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r	Es ist erlaubt, Aussagen in einer Kette von Konjunktionen oder Disjunktionen zu gruppieren.
Distributivgesetz	(p ∨ q) ∧ r ≡ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) (p ∧ q) ∨ r ≡ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)	Die Konjunktion ist distributiv bezüglich der Disjunktion und umgekehrt.
Idempotenzgesetz	p ∧ p ≡ p p ∨ p ≡ p	Die Konjunktion oder Disjunktion einer Aussage mit sich selbst ist äquivalent zur Aussage selbst.
Absorptionsgesetze	p ∨ (p ∧ q) ≡ p p ∧ (p ∨ q) ≡ p	Die Disjunktion einer Aussage mit einer Konjunktion, in der sie selbst vorkommt, ist äquivalent zur ursprünglichen Aussage. Dasselbe gilt, wenn die Operatoren vertauscht werden.

Gesetze für das Konditional

Das Konditional ist einer der wichtigsten und zugleich einer der am wenigsten intuitiven logischen Konnektoren für das alltägliche Denken. Seine Analyse ist in der Logik und Mathematik von entscheidender Bedeutung, da ein Großteil der formalen Beweise und Argumentationen auf konditionalen Aussagen aufbaut. Aus diesem Grund ist es unerlässlich, nicht nur seine formale Definition zu kennen, sondern auch die wichtigsten Äquivalenzen, die es ermöglichen, es in andere logische Ausdrücke umzuwandeln.

Name	Notation	Beschreibung
Definition des Konditionals	p → q ≡ ¬p ∨ q	Das Konditional ist äquivalent zur Disjunktion der Negation des Antezedens und dem Konsequens.
Negation des Konditionals	¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q	Die Negation eines Konditionals ist äquivalent zur Konjunktion des Antezedens und der Negation des Konsequens.
Kontrapositionsgesetz oder Transposition	(p → q) ≡ (¬q → ¬p)	Die logische Implikation kann in ihrer kontraponierten Form ausgedrückt werden, indem die Aussagen negiert und ihre Reihenfolge vertauscht wird.
Definition des Bikonditionals oder der Äquivalenz	(p ↔ q) ≡ [(p → q) ∧ (q → p)] (p ↔ q) ≡ [(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)]	Das Bikonditional ist äquivalent zur Konjunktion von zwei Konditionalen: einem in die eine und einem in die andere Richtung.
Negation des Bikonditionals	¬(p ↔ q) ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)	Die Negation einer Äquivalenz bedeutet, dass eine Aussage wahr und die andere falsch ist, oder umgekehrt.
Kontraposition des Bikonditionals	(p ↔ q) ≡ (¬q ↔ ¬p)	Das Bikonditional zweier Aussagen ist äquivalent zum Bikonditional ihrer Negationen.
Gesetz der Vertauschung der Prämissen	[p → (q → r)] ≡ [q → (p → r)]	Die Reihenfolge der Antezedenzien in einer verschachtelten Implikation kann vertauscht werden, ohne den logischen Wert zu ändern.
Expansionsgesetze	(p → q) ≡ [(p ∨ q) ↔ q] (p → q) ≡ [(p ∧ q) ↔ p]	Ein Konditional kann als Bikonditional zwischen der Konjunktion (oder Disjunktion) seiner Komponenten und dem Konsequens (oder dem Antezedens) ausgedrückt werden.

Schlussregeln

Die Schlussregeln sind Muster, die es ermöglichen, aus einer oder mehreren als wahr angenommenen Prämissen eine neue gültige Aussage abzuleiten.

Name	Notation
Modus ponens	[(p → q) ∧ p] → q
Modus tollens	[(p → q) ∧ ¬q] → ¬p
Syllogismus	(p → q) → [(q → r) → ( p → r)]
Disjunktiver Syllogismus	[(p ∨ q) ∧ ¬p] → q [(p ∨ q) ∧ ¬q] → p
Transitivität oder hypothetischer Syllogismus	[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) [(p ↔ q) ∧ (q ↔ r)] → (p ↔ r)
Simplifikation	p ∧ q → p p ∧ q → q
Addition	p → p ∨ q q → p ∨ q
Konstruktives Dilemma	[( p ∨ q) ∧ ( p → r) ∧ (q → r)] → r
Zweites Gesetz des konstruktiven Dilemmas	[(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r)] → (q ∨ s)
Destruktives Dilemma	[(p → q) ∧ (r → s) ∧ (¬q ∨ ¬s) ] → (¬p ∨ ¬r)
Fallunterscheidung	[(p → q) ∧ (¬p → ¬q)] → q
Exportation	[(p ∧ q) → r] ≡ [p → (q ∧ r)]