Logische Verknüpfungen in der Mathematik

Logische Verknüpfungen (auch Junktoren oder logische Operatoren genannt) sind Symbole oder Wörter, die es ermöglichen, aus bereits bestehenden Aussagen neue zu bilden. In der Aussagenlogik besteht ihre Funktion darin, zwei oder mehr Aussagen (einfache oder zusammengesetzte) zu verbinden, um eine zusammengesetzte Aussage zu schaffen, deren Wahrheitswert von den Wahrheitswerten der sie bildenden Aussagen abhängt.

Um ihre Funktionsweise besser zu verstehen, ist es hilfreich, sich ein wichtiges Konzept ins Gedächtnis zu rufen: Eine Aussage ist ein deklarativer Satz, der eindeutig als wahr oder falsch eingestuft werden kann, aber niemals beides gleichzeitig. Typische Beispiele sind: „2 ist eine gerade Zahl“ (wahr) oder „5 ist kleiner als 3“ (falsch). In der Logik werden sie üblicherweise mit Kleinbuchstaben wie p, q, r usw. dargestellt.

So wie wir in der Arithmetik Zahlen durch Operationen kombinieren, kombinieren wir in der Logik Aussagen durch Verknüpfungen. Der Unterschied besteht darin, dass wir anstelle einer Zahl als Ergebnis eine zusammengesetzte Aussage erhalten, deren Wahrheitswert durch die ursprünglichen Aussagen definiert wird.

In der Aussagenlogik sind die gebräuchlichsten logischen Verknüpfungen die Negation (nicht), die Konjunktion (und), die Disjunktion (oder), das Konditional (wenn… dann) und das Bikonditional (genau dann, wenn). Für jede von ihnen gibt es spezifische Symbole und eine klare Methode, um zu bestimmen, wann sie wahr und wann sie falsch sind.

Ein grundlegender Aspekt ist, dass zusammengesetzte Aussagen erneut mit anderen Verknüpfungen verbunden werden können, was es uns ermöglicht, immer komplexere logische Ausdrücke zu schaffen. Dadurch werden logische Verknüpfungen zu einem entscheidenden Teil des mathematischen Denkens und sind unerlässlich, um Argumente aufzubauen, Beweise zu führen und Probleme rigoros zu lösen.

Tabelle der logischen Verknüpfungen

Symbol	Logische Verknüpfung	Bedeutung
¬ (auch ~)	Negation ¬p	nicht p es ist nicht der Fall, dass p es trifft nicht zu, dass p es ist falsch, dass p
∧	Konjunktion p ∧ q	p und q p obwohl q p aber q p jedoch q p trotzdem q p trotz q
∨	Disjunktion p ∨ q	p oder q oder beide entweder p oder q
⊕	Exklusive Disjunktion (oder Kontravalenz) p ⊕ q	p oder q, aber nicht beide entweder p oder q, aber nicht beide
→	Konditional (oder Implikation) p → q	wenn p, dann q nur wenn p, dann q p ist hinreichend für q q ist notwendig für p nicht p, es sei denn q
↔	Bikonditional (oder Äquivalenz) p ↔ q	p genau dann, wenn q p ist hinreichend und notwendig für q p ist äquivalent zu q

Negation

Die Negation der Aussage p ist die Aussage ¬p (gelesen „nicht p“). Der Negator hat die gleiche Bedeutung wie die Partikel „nicht“ in der Alltagssprache. Wenn wir eine Aussage verneinen, beabsichtigen wir auszudrücken, dass diese Aussage falsch ist. Ist eine Aussage wahr, ist ihre Negation falsch; ist eine Aussage falsch, ist ihre Negation wahr.

Die Wahrheitsbedingungen dieser Verknüpfung stellen wir in einer Tabelle dar. Die erste Spalte enthält die möglichen Wahrheitswerte einer gegebenen Aussage p. Die folgende Spalte zeigt die Wahrheitswerte, die der Negation der Aussage entsprechen. Für den wahren Wert wird der Buchstabe „W“ verwendet und für den falschen Wert der Buchstabe „F“; in anderen Kontexten können auch „1“ für wahr und „0“ für falsch verwendet werden.

p	¬p
W	F
F	W

Beispiel 1

p: „Der Mond umkreist die Erde“

¬p: „Der Mond umkreist die Erde nicht“

Die Aussage p ist wahr, weil der Mond tatsächlich die Erde umkreist, daher ist die Aussage ¬p falsch.

Beispiel 2

q: „Fische können außerhalb des Wassers atmen“

¬q: „Es ist nicht wahr, dass Fische außerhalb des Wassers atmen können“

Die Aussage q ist falsch, was dazu führt, dass die Aussage ¬q wahr ist.

Beispiel 3

r: „5 ist eine gerade Zahl“

¬r: „5 ist eine ungerade Zahl“

In diesem Fall ist die ursprüngliche Aussage falsch und ihre Negation ist wahr.

Beispiel 4

Wenn wir eine verneinte Aussage ¬p haben, können wir sie erneut verneinen und erhalten so die Aussage ¬(¬p). Wenn wir also mit

p: „7 ist eine Primzahl“

beginnen, verneinen wir sie, um zu erhalten:

¬p: „Es ist nicht wahr, dass 7 eine Primzahl ist“

Und wir verneinen sie erneut:

¬(¬p): „Es ist nicht wahr, dass es nicht wahr ist, dass 7 eine Primzahl ist“

Da wir beim einmaligen Verneinen von p seinen Wahrheitswert umkehren, kehren wir ihn bei der Verneinung der Negation erneut um und kehren zum Ausgangszustand zurück. Wir können dies in der Wahrheitstafel überprüfen:

p	¬p	¬(¬p)
W	F	W
F	W	F

Wenn zwei Aussagen für jede mögliche Interpretation denselben Wahrheitswert haben, nennt man sie äquivalent und symbolisiert dies mit „≡“. Somit gilt ¬(¬p) ≡ p, was als Gesetz der doppelten Negation oder Involutionsgesetz bekannt ist. Es gibt weitere logische Gesetze, die mit der Negation zusammenhängen und die wir später betrachten werden.

Anmerkung: Die Negation wird als einstelliger Junktor bezeichnet, da er eine Aussage verneint und sie nicht mit einer anderen verbindet. Im Gegensatz dazu werden die anderen Operatoren als zweistellige Junktoren bezeichnet, da sie einen doppelten Geltungsbereich haben: nach rechts und nach links, d. h., sie betreffen zwei Variablen.

Konjunktion

Die Konjunktion der Aussagen p und q ist die Aussage p ʌ q (gelesen „p und q“). Die Bedeutung des Konjunktors ist identisch mit der des „und“ in der Alltagssprache. Eine Konjunktion ist wahr, wenn ihre Bestandteile wahr sind; in jedem anderen Fall ist sie falsch. 

Die Wahrheitsbedingungen stellen wir in einer analogen Tabelle dar. In den ersten beiden Spalten sind die vier möglichen Kombinationen von Wahrheit und Falschheit der Aussagen p und q geordnet aufgeführt. Die dritte Spalte gibt die Wahrheitswerte für jeden Fall an.

p	q	p ∧ q
W	W	W
W	F	F
F	W	F
F	F	F

Beispiel 1

Seien die Aussagen p: „Das Klavier ist ein Musikinstrument“ und q: „2 ist eine gerade Zahl“, dann:

p ʌ q: „Das Klavier ist ein Musikinstrument und 2 ist eine gerade Zahl“

Die Aussage p ʌ q ist wahr, da sowohl p als auch q wahre Aussagen sind.

Beispiel 2

Seien p: „Die Farbe des Himmels ist rot“ und q: „2 + 2 = 4“, ihre Konjunktion ist:

p ʌ q: „Der Himmel ist rot und 2+2 = 4“

Die zusammengesetzte Aussage p ʌ q ist falsch, denn obwohl q wahr ist, ist p falsch.

Beispiel 3

Definieren wir p: „8 ist eine ungerade Zahl“ und q: „8 ist eine negative Zahl“, bilden wir die Konjunktion:

p ʌ q: „8 ist eine ungerade Zahl und ist negativ“

Da es nicht wahr ist, dass 8 ungerade ist, und auch nicht wahr ist, dass 8 negativ ist, ist die Konjunktion p ʌ q falsch.

Beispiel 4

Seien p: „4 ist eine gerade Zahl“, q: „-2 ist eine negative Zahl“ und r: „2,5 ist eine ganze Zahl“.

p ʌ q: „4 ist eine gerade Zahl und -2 ist eine negative Zahl“

p ʌ r: „4 ist eine gerade Zahl und 2,5 ist eine ganze Zahl“

Die zusammengesetzte Aussage p ʌ q ist wahr, weil p und q wahr sind. Im Gegensatz dazu ist p ʌ r falsch, weil r falsch ist. Wir können auch eine Konjunktion mit mehr als zwei Aussagen bilden:

p ʌ q ʌ r: „4 ist eine gerade Zahl, -2 ist eine negative Zahl und 2,5 ist eine ganze Zahl“

Die Aussage p ʌ q ʌ r ist falsch, denn obwohl p und q wahr sind, ist r falsch. Wenn irgendein Teil falsch ist, ist die gesamte Konjunktion falsch.

Wir können auch Negationen auf Konjunktionen anwenden, zum Beispiel:

¬(p ʌ q): „Es ist nicht wahr, dass ‚4 ist eine gerade Zahl und -2 ist eine negative Zahl‘“

Diese Aussage ist falsch, weil die ursprüngliche Konjunktion wahr war. Im Gegensatz dazu:

¬(p ʌ r): „Es ist falsch, dass ‚4 ist eine gerade Zahl und 2,5 ist eine ganze Zahl‘“

Die Aussage ist wahr, weil die ursprüngliche Konjunktion falsch war. Die Negation einer Konjunktion bedeutet, dass es nicht wahr ist, dass beide Aussagen gleichzeitig wahr sind, d. h., eine von ihnen (oder beide) muss falsch sein. In der Tat: Der Teil, der besagt, dass 2,5 eine ganze Zahl ist, ist falsch. Obwohl der Teil, der behauptet, dass 4 eine gerade Zahl ist, wahr ist, ist es nicht wahr, dass beide Aussagen wahr sind.

Es ist wichtig, Klammern korrekt zu verwenden, da eine Aussage ¬(p ʌ q) nicht dasselbe ist wie ¬p ʌ q oder p ʌ ¬q. Auch die Reihenfolge, in der die Aussagen in einer Konjunktion erscheinen, ändert deren Bedeutung nicht, d. h., die Konjunktion ist kommutativ: p ʌ q ≡ q ʌ p. Dies kann durch das Erstellen der entsprechenden Wahrheitstafel bestätigt werden.

Inklusive Disjunktion

Die Disjunktion von p und q ist die Aussage p ∨ q (gelesen „p oder q“). Der Disjunktor kann teilweise als eine Übersetzung der Partikel „oder“ der Alltagssprache in die formale Sprache betrachtet werden. Die Disjunktion zweier Aussagen ist wahr, wenn mindestens eine dieser Aussagen wahr ist (und auch, wenn beide es sind); sie ist falsch, wenn beide falsch sind.

p	q	p ∨ q
W	W	W
W	F	W
F	W	W
F	F	F

Die Wahrheitsbedingungen der Disjunktion sind das „Gegenstück“ zu den Wahrheitsbedingungen der Konjunktion. Auch das Symbol der Disjunktion (∨) ist das umgekehrte Bild des Konjunktors (ʌ).

Um die Wahrheit einer Konjunktion zu beweisen, muss man die Wahrheit all ihrer Glieder beweisen; um die Wahrheit einer Disjunktion zu beweisen, genügt es, die Wahrheit eines Gliedes zu beweisen. Umgekehrt verhält es sich mit der Falschheit: Die Falschheit einer Konjunktion wird durch den Beweis der Falschheit eines ihrer Glieder festgestellt; während die Falschheit einer Disjunktion den Beweis der Falschheit aller Glieder erfordert.

Beispiel 1

Seien p: „Die Sonne ist ein Planet“ und q: „Die Erde ist ein Planet“.

p ∨ q: „Die Sonne ist ein Planet oder die Erde ist ein Planet“

Die Aussage ist wahr, weil q wahr ist.

Beispiel 2

Definieren wir p: „Fische können fliegen“ und q: „3 ist eine gerade Zahl“, dann:

p ∨ q: „Fische können fliegen oder 3 ist eine gerade Zahl“

Die Aussage p ∨ q ist falsch, weil sowohl p als auch q falsch sind.

Beispiel 3

Seien p: „4 ist eine gerade Zahl“, q: „-2 ist eine negative Zahl“ und r: „2,5 ist eine ganze Zahl“. Wir können bilden:

p ∨ q: „4 ist eine gerade Zahl oder -2 ist negativ“

Die Aussage p ∨ q ist wahr, weil sowohl p als auch q wahr sind. Wir können auch bilden:

p ∨ q ∨ r : „4 ist eine gerade Zahl oder -2 ist negativ oder 2,5 ist eine ganze Zahl“

Die obige Aussage ist wahr, weil mindestens eine der sie bildenden Aussagen wahr ist (in diesem Fall sind es p und q), obwohl die letzte falsch ist.

Wie wir bereits gesehen haben, können wir Negationen auf diesen Junktor anwenden und ihn auch mit Konjunktionen oder anderen Junktoren, die wir später sehen werden, kombinieren. Zum Beispiel:

¬(p ∨ q): „Es ist nicht wahr, dass ‚4 eine gerade Zahl ist oder -2 negativ ist‘“

Die Aussage ¬(p ∨ q) ist falsch, weil p ∨ q wahr ist und die Negation ihren Wahrheitswert umkehrt. Die Negation einer Disjunktion bedeutet, dass es nicht wahr ist, dass eine der sie bildenden Aussagen wahr ist, sondern dass beide falsch sein müssen. Wie man in der Wahrheitstafel sehen kann, ist ¬(p ∨ q) nur dann wahr, wenn sowohl p als auch q falsch sind.

p	q	p ∨ q	¬(p ∨ q)
W	W	W	F
W	F	W	F
F	W	W	F
F	F	F	W

Die Disjunktion erfüllt die kommutative Eigenschaft, d. h., die Reihenfolge der Aussagen ändert die Bedeutung nicht: p ∨ q ≡ q ∨ p.

Exklusive Disjunktion

Die exklusive Disjunktion von p und q ist die Aussage p ⊕ q (gelesen „p oder q, aber nicht beide“). Sie ist wahr, wenn nur eine der beiden Aussagen wahr ist; sie ist falsch, wenn beide falsch oder beide gleichzeitig wahr sind.

p	q	p ⊕ q
W	W	F
W	F	W
F	W	W
F	F	F

Dieser Junktor kann als die formale Übersetzung der Partikel „oder“ im ausschließenden Sinne betrachtet werden, d. h., wenn man angeben möchte, dass das eine oder das andere eintritt, aber nicht beides gleichzeitig. Darin unterscheidet er sich hauptsächlich von der anderen Disjunktion. 

Beispiel 1

Seien p: „4 ist eine gerade Zahl“ und q: „6 ist eine gerade Zahl“

p ⊕ q: „4 ist eine gerade Zahl oder 6 ist eine gerade Zahl, aber nicht beide“

Die Aussage p ⊕ q ist falsch, weil p und q gleichzeitig wahr sind.

Beispiel 2

Seien p: „Die Erde ist flach“ und q: „Die Erde ist kugelförmig“

p ⊕ q: „Die Erde ist flach oder sie ist kugelförmig, aber nicht beides“

In diesem Fall ist p ⊕ q wahr, weil nur q wahr ist, während p falsch ist.

Konditional (oder Implikation)

Das Konditional oder die Implikation der Aussagen p und q ist die Aussage p → q (gelesen „wenn p, dann q“ oder „p impliziert q“). Der Implikator kann als eine teilweise Formalisierung der Partikel „wenn..., dann...“ der Alltagssprache betrachtet werden. Der Ausdruck vor dem Symbol wird als Antezedens (p) bezeichnet, und der nachfolgende als Konsequens oder Sukzedens (q).

Eine Implikation ist wahr, wenn ihr Antezedens falsch ist oder wenn ihr Konsequens wahr ist; sie ist falsch, wenn ihr Antezedens wahr und ihr Konsequens falsch ist.

p	q	p → q
W	W	W
W	F	F
F	W	W
F	F	W

Beispiel 1

Seien p: „Johann besteht seine Prüfung“ und q: „Johanns Mutter schenkt ihm eine Schokolade“. Wir können bilden:

p → q: „Wenn Johann seine Prüfung besteht, dann schenkt ihm seine Mutter eine Schokolade“

Der konditionale Junktor wirkt wie ein Versprechen: Die einzige Möglichkeit, ein Versprechen zu brechen, ist, dass derjenige, der etwas versprochen hat, es nicht einhält. In diesem Beispiel ist die einzige Möglichkeit, dass das Versprechen nicht eingehalten wird, dass Johann die Prüfung besteht, seine Mutter ihm aber die Schokolade nicht gibt. In diesem Fall wäre p wahr und q falsch, was p → q zu einer falschen Aussage macht.

In jedem anderen Fall wird das Versprechen erfüllt:

1. Johann besteht die Prüfung (p ist W) und seine Mutter gibt ihm die Schokolade (q ist W), dann ist p → q wahr.
2. Johann besteht seine Prüfung nicht (p ist F) und seine Mutter gibt ihm trotzdem die Schokolade (q ist W), dann ist p → q wahr.
3. Johann besteht seine Prüfung nicht (p ist F) und seine Mutter gibt ihm die Schokolade nicht (q ist F), macht p → q wahr.

Anmerkung: Man könnte denken, dass der zweite Fall falsch ist, da Johann nicht besteht, aber trotzdem das Geschenk erhält. In Wirklichkeit war das ursprüngliche Versprechen, dass er das Geschenk erhält, wenn er besteht, aber es sagt nichts darüber aus, was passiert, wenn er nicht besteht. Wenn Johann also nicht besteht, kann seine Mutter frei entscheiden, ob sie ihm das Geschenk gibt oder nicht, da sie das ursprüngliche Versprechen nicht bricht.

Beispiel 2

Seien p: „Katzen können fliegen“ und q: „4 ist eine gerade Zahl“. Wir können die Implikation bilden:

p → q: „Wenn Katzen fliegen können, dann ist 4 eine gerade Zahl“

Die Aussage p → q ist wahr, weil das Antezedens p falsch ist. Daher ist es egal, welchen Wahrheitswert das Konsequens q hat, die Implikation wird trotzdem wahr sein.

Dieses Beispiel mag der Vorstellung widersprechen, dass in einer Implikation eine Beziehung zwischen dem Inhalt des Antezedens und des Konsequens bestehen muss. In diesem Fall haben Katzen nichts mit geraden Zahlen zu tun, aber die mathematische Logik befasst sich nicht mit dem Inhalt der Aussagen, sondern konzentriert sich ausschließlich auf die Möglichkeit, wahr oder falsch zu sein. Mit anderen Worten, das mathematische Konditional sollte nicht als eine Ursache-Wirkungs-Beziehung interpretiert werden.

Formulierung von Theoremen

Das Konditional ist einer der am häufigsten verwendeten Junktoren bei der Formulierung mathematischer Theoreme. Seine typische Struktur ist Hypothese → These, wobei die Hypothese die Anfangsbedingung und die These die Schlussfolgerung ist, die erfüllt sein muss, wann immer die Hypothese wahr ist.

In diesem Sinne muss, wenn die Hypothese erfüllt ist, notwendigerweise auch die These erfüllt sein; wenn die Hypothese jedoch nicht erfüllt ist, bleibt das Theorem gültig, auch wenn die Schlussfolgerung wahr oder falsch sein kann.

Betrachten wir zum Beispiel die folgende Aussage:

„Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 4 ist, dann ist sie gerade“

Hier ist die Hypothese „die Zahl ist ein Vielfaches von 4“ und die These ist „die Zahl ist gerade“. Das Theorem ist korrekt: Wann immer eine Zahl ein Vielfaches von 4 ist, wird sie auch gerade sein. Aber wenn die Hypothese nicht erfüllt ist, wie im Fall der Zahl 5 (die kein Vielfaches von 4 ist), wird das Theorem nicht ungültig.

Denken wir an den Fall der Zahl 6, diese Zahl ist kein Vielfaches von 4, aber sie ist gerade. In diesem Fall bleibt das Theorem gültig, weil die Hypothese nicht erfüllt wurde. Das Theorem besagt nicht, dass jede gerade Zahl ein Vielfaches von 4 sein muss; es stellt nur fest, dass wenn eine Zahl ein Vielfaches von 4 ist, sie dann gerade ist.

Auf diese Weise spiegelt das Konditional die innere Logik von Theoremen wider: Es garantiert die Gültigkeit, wenn die Hypothese erfüllt ist, aber fordert nichts, wenn sie es nicht ist.

Zugehörige Implikationen

Gegeben die direkte Implikation p → q, sind dies ihre zugehörigen:

• q → p ist die Umkehrung, bei der wir die Aussagen vertauschen.
• ¬p → ¬q ist die inverse Implikation, bei der wir beide Aussagen negieren, ohne ihre Reihenfolge zu ändern.
• ¬q → ¬p ist die Kontraposition, bei der wir beide Aussagen vertauschen und negieren.

Jede Implikation ist äquivalent zu ihrer Kontraposition, das heißt p → q ≡ ¬q → ¬p. Mit dem Beispiel des Theorems p → q: „Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 4 ist, dann ist sie gerade.“ können wir bilden:

Umkehrung: q → p: „Wenn eine Zahl gerade ist, dann ist sie ein Vielfaches von 4“. Diese Aussage ist falsch, ein Gegenbeispiel ist 6, die gerade ist, aber kein Vielfaches von 4.

Inverse: ¬p → ¬q: „Wenn eine Zahl kein Vielfaches von 4 ist, dann ist sie nicht gerade“. Diese Aussage ist ebenfalls falsch, denn zum Beispiel ist 10 kein Vielfaches von 4, aber sie ist gerade.

Kontraposition: ¬q → ¬p: „Wenn eine Zahl nicht gerade ist, dann ist sie kein Vielfaches von 4“. Diese Aussage ist wahr, da keine ungerade Zahl ein Vielfaches von 4 sein kann.

Ein Beispiel aus dem Alltag können wir mit den Aussagen p: „Es regnet“ und q: „Der Hof ist nass“ machen:

• p → q: „Wenn es regnet, dann ist der Hof nass.“
• q → p: „Wenn der Hof nass ist, dann regnet es.“
• ¬p → ¬q: „Wenn es nicht regnet, dann ist der Hof nicht nass.“
• ¬q → ¬p: „Wenn der Hof nicht nass ist, dann regnet es nicht.“

Die Umkehrung und die inverse Implikation sind nicht äquivalent zum Original, denn der Hof könnte auch nass sein, wenn es nicht regnet (jemand könnte ihn mit Wasser nass machen). Wenn der Hof jedoch nicht nass ist, können wir sicher sein, dass es nicht regnet. 

Bikonditional (oder Äquivalenz)

Die doppelte Implikation der Aussagen p und q ist die Aussage p ↔ q (gelesen „p genau dann, wenn q“). Dieser Junktor kann als die formale Übersetzung der Partikel „dann und nur dann, wenn“ und auch von „ist äquivalent zu“ betrachtet werden. Er wird bei der Aufstellung von Äquivalenzdefinitionen und zur Formulierung notwendiger und hinreichender Bedingungen verwendet.

Eine doppelte Implikation ist wahr, wenn ihre beiden Komponenten den gleichen Wahrheitswert haben, das heißt, wenn beide wahr oder beide falsch sind; und sie ist falsch im gegenteiligen Fall, also wenn eine von ihnen wahr und die andere falsch ist.

p	q	p ↔ q
W	W	W
W	F	F
F	W	F
F	F	W

Das Bikonditional ist logisch äquivalent zur Konjunktion zweier Implikationen:

p ↔ q ≡ (p → q) ʌ (q → p)

Beispiel 1

Seien p: „Es regnet“ und q: „Die Straße ist nass“, wir können die Aussage bilden:

p ↔ q: „Es regnet genau dann, wenn die Straße nass ist“

Wenn es wahr ist, dass es regnet (p ist W) und es auch wahr ist, dass die Straße nass ist (q ist W), ist die Aussage p ↔ q wahr. Wenn es nicht regnet (p ist F) und die Straße nicht nass ist (q ist F), ist die Aussage p ↔ q ebenfalls wahr. Wenn jedoch eine der beiden Aussagen p oder q falsch ist, wird das Bikonditional falsch sein, das heißt, wenn es regnet (p ist W) und die Straße nicht nass ist (q ist F) oder wenn die Straße nass ist (q ist W), ohne dass es regnet (p ist F).

Beispiel 2

Seien p: „Eine Zahl ist gerade“ und q: „Eine Zahl ist durch 2 teilbar“.

p ↔ q: „Eine Zahl ist gerade genau dann, wenn sie durch zwei teilbar ist“

Wenn eine Zahl gerade ist, dann ist sie durch 2 teilbar (per Definition); und wenn eine Zahl durch 2 teilbar ist, dann ist sie gerade. Die Beziehung funktioniert in beide Richtungen, daher ist die Aussage p ↔ q wahr.

Beispiel 3

Definieren wir p: „Ein Dreieck ist gleichseitig“ und q: „Die drei Seiten eines Dreiecks sind gleich“

p ↔ q: „Ein Dreieck ist gleichseitig genau dann, wenn seine drei Seiten gleich sind“

Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, sind seine drei Seiten gleich; und wenn die drei Seiten eines Dreiecks gleich sind, dann sagen wir, es ist gleichseitig. Da es in beide Richtungen gilt, ist das Bikonditional p ↔ q wahr.

Beispiel 4

Seien p: „Die Summe zweier Zahlen ist gerade“ und q: „Zwei Zahlen sind gerade“.

p ↔ q: „Die Summe zweier Zahlen ist gerade genau dann, wenn die beiden Zahlen gerade sind“

Diese Aussage ist falsch, denn obwohl es stimmt, dass die Summe zweier gerader Zahlen immer eine gerade Zahl ist (z. B. 2+2=4), ergibt auch die Summe zweier ungerader Zahlen eine gerade Zahl (wie 3+1=4).

Die gebräuchlichsten Symbole für das Bikonditional sind „↔“ und „⇔“. Auch das Symbol für die logische Äquivalenz „≡“, das wir bisher verwendet haben, ist dasselbe wie ein Bikonditional. Der Ausdruck „genau dann, wenn“ wird häufig als „gdw.“ abgekürzt. Zum Beispiel: „Ein Dreieck ist gleichseitig gdw. seine drei Seiten gleich sind.“

Rangfolge der logischen Verknüpfungen

Bei der Verwendung logischer Symbole wird eine Hierarchie (auch Präzedenz oder Rangfolge genannt) zwischen ihnen festgelegt, die angibt, welche Operationen zuerst ausgeführt werden, um so den übermäßigen Gebrauch von Klammern zu vermeiden. Die Konvention zur Auswertung der Operatoren ist wie folgt:

1. Negation (¬).
2. Konjunktion (∧).
3. Disjunktion (∨).
4. Konditional (→).
5. Bikonditional (↔).

Gruppierungszeichen (runde Klammern, eckige Klammern und geschweifte Klammern) können die Rangfolge ändern und werden immer zuerst ausgewertet.

Beispiele

• ¬p ∧ q wird als (¬p) ∧ q interpretiert.
• p ∧ q ∨ r wird als (p ∧ q) ∨ r interpretiert.
• ¬p ∧ q → r wird als [(¬p) ∧ q ] → r interpretiert.
• p ∧ q → r ∨ s wird als (p ∧ q) → (r ∨ s) interpretiert.
• p ↔ ¬q ∨ r interpretieren wir als p ↔ (¬q ∨ r).
• ¬p → q ↔ r ∧ s → t sollte als (¬p → q) ↔ [(r ∧ s) → t] verstanden werden.

Beachten Sie, dass die Negation nur die unmittelbar folgende Aussage betrifft, es sei denn, eine Klammer ändert dies, zum Beispiel ¬(p ∧ q).

Übungsaufgaben

Weitere Informationen zu jeder Verknüpfung