Die leere Menge

Die leere Menge oder Nullmenge ist die Menge, die keine Elemente enthält. Sie wird mit dem Symbol Ø oder mit leeren geschweiften Klammern { } dargestellt.

Beispiele

Die leere Menge kann in beschreibender Form dargestellt werden, indem man eine Eigenschaft angibt, die kein Element erfüllt. Sie kann auch als Ergebnis von Mengenoperationen entstehen.

1. Ø = {x | x ≠ x}
2. Ø = {x | 0 ⋅ x = 4}
3. Ø = {x | x = 2 und x = 8}
4. Ø = {x | x ist eine reelle Zahl und x² = -1} 
5. Ø = {x | x ist eine reelle Zahl und |x| < 0}
6. Ø = {x | x ist eine ganze Zahl und 5 < x < 6}, denn zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen gibt es keine weitere ganze Zahl.
7. Wenn A = {a, b} und B = {1, 2}, dann ist A ∩ B = Ø.
8. Die Menge der Planeten, die den Mond umkreisen, ist Ø.

Eigenschaften

Einige wichtige Eigenschaften der leeren Menge sind:

1. Die leere Menge ist eine Teilmenge jeder Menge, einschließlich sich selbst. Das heißt, Ø ⊆ A für jede Menge A, und auch Ø ⊆ Ø. Dies liegt daran, dass es keine Elemente in der leeren Menge gibt, die nicht auch in A enthalten sind.
2. Die leere Menge ist endlich und ihre Kardinalität ist null: |Ø| = 0.
3. Die leere Menge ist eindeutig. Wenn wir annehmen, dass neben Ø eine weitere leere Menge Ø’ existiert, dann gilt aufgrund der ersten Eigenschaft, dass Ø ⊆ Ø’ und Ø’ ⊆ Ø. Da eine gegenseitige Inklusion vorliegt, sind beide Mengen gleich: Ø = Ø’.
4. Die einzige Teilmenge der leeren Menge ist sie selbst. In Symbolen: A ⊆ Ø genau dann, wenn A = Ø. Mit anderen Worten, das einzige Element der Potenzmenge der leeren Menge ist die leere Menge selbst: P(Ø) = {Ø}.
5. Die leere Menge ist ein Element der Potenzmenge jeder Menge: Ø ∈ P(A) für jede Menge A. Dies folgt aus der ersten genannten Eigenschaft.
6. Die Vereinigung einer Menge A mit der leeren Menge ist A selbst: A ∪ Ø = A.
7. Der Schnitt einer Menge A mit der leeren Menge ist die leere Menge: A ∩ Ø = Ø.
8. Die Differenz einer beliebigen Menge mit sich selbst ist die leere Menge: A \ A = Ø.
9. Die Differenz einer beliebigen Menge mit der leeren Menge ist die Menge selbst: A \ Ø = A.
10. Das Komplement der leeren Menge ist die Grundmenge: Øᶜ = U; und das Komplement der Grundmenge ist die leere Menge: Uᶜ = Ø.
11. Das kartesische Produkt einer beliebigen Menge mit der leeren Menge ist die leere Menge. Dies liegt daran, dass keine geordneten Paare gebildet werden können, wenn eine der Mengen leer ist.