Reelle Zahlen

Eine reelle Zahl ist eine Zahl, die einem Punkt auf dem Zahlenstrahl entspricht. Die reellen Zahlen umfassen die rationalen Zahlen, die als Bruch geschrieben werden können, und auch die irrationalen Zahlen, die nicht als Bruch ausgedrückt werden können. Einige Beispiele sind: -2, 5, 3/2, π, √2, ∛7, 0, -5/4.

Menge der reellen Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen wird mit dem Buchstaben R symbolisiert und ist die Vereinigung der Mengen der rationalen und irrationalen Zahlen:

*\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}*

Eine andere Möglichkeit, die Menge der reellen Zahlen auszudrücken, ist die Verwendung des Intervalls von minus unendlich bis plus unendlich: *\mathbb{R}=(-\infty, +\infty)*

Die reellen Zahlen werden in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Mathematik verwendet, insbesondere zur Darstellung kontinuierlicher Größen wie Länge und Zeit. Die Fähigkeit, kontinuierliche Größen präzise darzustellen, macht die reellen Zahlen in diesen Bereichen fundamental.

Alle natürlichen, ganzen, rationalen, irrationalen und Dezimalzahlen sind reelle Zahlen. Dies wird im folgenden Schema deutlicher, wo wir alle Zahlen sehen können, die die Menge der reellen Zahlen bilden.

Wir haben also zwei Arten von reellen Zahlen: die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen. Zusätzlich zu dem, was in der Grafik zu sehen ist, sind weitere Beispiele für reelle Zahlen:

*-27;~~\sqrt[3]{8};* *~~-\dfrac{\sqrt{2}}{2};~~\dfrac{\pi}{9};* *~~\dfrac{e^7}{\sqrt{3}};~~3,17897546;* *~~2,645751311...*

Jede reelle Zahl kann in Dezimalform geschrieben werden. Diese Dezimaldarstellungen können endlich oder unendlich sein. Bei endlichen Dezimaldarstellungen hat der Dezimalteil eine begrenzte Anzahl von Ziffern nach dem Komma und endet schließlich. Zum Beispiel ist die Zahl 3,25 eine endliche Dezimaldarstellung, da sie nur zwei Ziffern nach dem Komma hat und dann aufhört.

Andererseits können unendliche Dezimaldarstellungen periodisch oder nicht-periodisch sein.

• Periodische Darstellungen folgen einem sich wiederholenden Muster von Ziffern nach dem Dezimalkomma. Zum Beispiel hat die Zahl 1/3 eine unendliche periodische Dezimaldarstellung: 0,333…, wobei die „3“ sich unendlich wiederholt. Die Zahl 47/11 in Dezimalform ist 4,27272..., wobei „27“ sich ständig wiederholt. Die drei Punkte am Ende zeigen an, dass es weitere Ziffern gibt, die aber nicht geschrieben wurden.
• Nicht-periodische Darstellungen folgen keinem sich wiederholenden Muster, und die Ziffern nach dem Dezimalkomma setzen sich unendlich ohne Muster fort. Zum Beispiel hat die Zahl π (Pi) eine unendliche nicht-periodische Dezimaldarstellung: 3,14159265358979…

Alle endlichen und unendlich periodischen Dezimaldarstellungen sind rationale Zahlen, während unendlich nicht-periodische Dezimaldarstellungen irrationale Zahlen sind.

Eigenschaften der reellen Zahlen

Die Eigenschaften der Menge der reellen Zahlen sind:

1. Es ist eine unendliche Menge: Die reellen Zahlen bilden eine unendliche Menge, was bedeutet, dass es eine unbegrenzte Anzahl von reellen Zahlen gibt.
2. Es gibt kein kleinstes oder größtes Element: Es existiert keine reelle Zahl, die kleiner als alle anderen ist, noch eine, die die größte ist.
3. Es ist eine dichte und vollständige Menge: Zwischen jedem Paar verschiedener reeller Zahlen gibt es unendlich viele reelle Zahlen. Die Vollständigkeit impliziert, dass es keine „Lücken“ auf der reellen Zahlengerade gibt.
4. Es ist eine kontinuierliche Menge: Im Zusammenhang mit dem Vorherigen bezieht sich die Kontinuität der reellen Zahlen darauf, dass es keine „Sprünge“ auf der reellen Zahlengerade gibt; das heißt, es gibt keine Lücken oder Unterbrechungen zwischen den reellen Zahlen.
5. Es ist eine total geordnete Menge: Die reellen Zahlen können nach ihrer Größe geordnet werden. Das bedeutet, dass für jedes Paar reeller Zahlen eine größer als die andere ist oder sie gleich sind.

Die reelle Zahlengerade

Die Menge der reellen Zahlen kann durch eine Gerade dargestellt werden, die reelle Zahlengerade genannt wird. Jeder Punkt auf dieser Geraden stellt eine reelle Zahl dar, und jeder reellen Zahl entspricht ein einziger Punkt auf der Geraden. Dies wird als eineindeutige Zuordnung (oder bijektive Abbildung) bezeichnet. Aus diesem Grund vervollständigen die reellen Zahlen die Zahlengerade.

Auf einer Geraden wählen wir zuerst einen beliebigen Punkt, den wir Ursprung nennen und mit der Zahl Null assoziieren. Nach Konvention platzieren wir die positiven reellen Zahlen rechts von der Null und die negativen links davon. Die Null ist weder positiv noch negativ. Der Pfeil nach rechts zeigt an, dass die Zahlen in dieser Richtung wachsen.

Gegeben zwei verschiedene reelle Zahlen, ist diejenige größer, die weiter rechts liegt, und entsprechend ist diejenige kleiner, die weiter links liegt. Aus der Grafik entnehmen wir zum Beispiel, dass π größer als √2 ist und gleichzeitig π kleiner als 23 / 5 ist.

Operationen mit reellen Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen zusammen mit den Operationen der Addition (oder Summe) und der Multiplikation (oder Produkt) wird als das System der reellen Zahlen bezeichnet. Die Algebraregeln für dieses System ermöglichen es uns, mathematische Fakten in einfachen und prägnanten Formen auszudrücken und Gleichungen zu lösen, um Antworten auf mathematische Fragen zu finden.

Im Folgenden werden die grundlegenden Eigenschaften des Systems der reellen Zahlen in Bezug auf die Operationen der Addition und Multiplikation dargestellt. Die Buchstaben a, b, c stehen für reelle Zahlen.

Eigenschaft	Beschreibung	Symbolik
Abgeschlossenheit	Wenn Addition und Multiplikation mit reellen Zahlen durchgeführt werden, sind die Ergebnisse ebenfalls reelle Zahlen.	a + b ist eine reelle Zahl ab ist eine reelle Zahl
Assoziativgesetz	Die Summe von drei reellen Zahlen kann durch Gruppierung der Summanden auf zwei Arten erhalten werden, und das Produkt von drei reellen Zahlen kann durch Gruppierung der Faktoren auf zwei Weisen bestimmt werden.	a + (b + c) = (a + b) + c a(bc) = (ab)c
Kommutativgesetz	Die Summe und das Produkt von zwei reellen Zahlen werden nicht von der Reihenfolge der Zahlen beeinflusst.	a + b = b + a ab = ba
Distributivgesetz	Die Multiplikation ist distributiv bezüglich der Addition von reellen Zahlen.	a (b + c) = ab + ac
Existenz neutraler Elemente	0 ist das neutrale Element der Addition und 1 ist das neutrale Element der Multiplikation.	a + 0 = a a ⋅ 1 = a
Existenz des additiven Inversen	Jede reelle Zahl a hat ein additives Inverses, welches -a ist.	a + (-a) = 0
Existenz des multiplikativen Inversen	Jede reelle Zahl a, die ungleich null ist, hat ein multiplikatives Inverses, welches 1/a ist, auch als a-1 bezeichnet.	a ⋅ a-1 = 1
Multiplikation mit Null	Die Multiplikation einer beliebigen reellen Zahl mit null ergibt null.	a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0 Wenn ab = 0, dann a = 0 oder b = 0 (oder beides).
Kürzungsregel	Wenn die gleiche Zahl auf beiden Seiten einer Gleichung addiert oder multipliziert wird und sich das Ergebnis nicht ändert, kann diese Zahl „gekürzt“ werden.	Wenn a + c = b + c, dann a = b Wenn ac = bc und c ≠ 0, dann a = b
Multiplikation mit negativen Zahlen	Die folgenden Eigenschaften beziehen sich auf das negative Vorzeichen bei einer Multiplikation.	-(-a) = a -(ab) = (-a) b = a (-b) -a = (-1) a (-a) (-b) = ab

Vorzeichen einer reellen Zahl

Wir können zwei große Teilmengen der reellen Zahlen identifizieren, nämlich:

• Positive reelle Zahlen, bezeichnet als *\mathbb{R}^{+}*
• Negative reelle Zahlen, bezeichnet als *\mathbb{R}^{-}*

Wir bezeichnen das Vorzeichen einer reellen Zahl als positiv, wenn die Zahl positiv ist, oder als negativ, wenn die Zahl negativ ist. Zwei reelle Zahlen haben das gleiche Vorzeichen, wenn beide positiv oder beide negativ sind. Zwei Zahlen haben entgegengesetzte oder unterschiedliche Vorzeichen, wenn eine positiv und die andere negativ ist.

Die folgenden Ergebnisse über die Vorzeichen von Produkten und Quotienten zweier reeller Zahlen a und b können unter Verwendung der Eigenschaften von negativen Zahlen und Quotienten bewiesen werden.

Beispiele

Seien *a=7* und *b=-24.* Da sie unterschiedliche Vorzeichen haben, werden das Produkt und der Quotient dieser Zahlen negativ sein:

*7\cdot (-24)=-168* ist negativ.

*\dfrac{7}{-24}=-\dfrac{7}{24}* ist negativ.

Der gleiche Test kann mit Zahlen gleichen Vorzeichens durchgeführt werden.

Es ist wichtig, den Unterschied zwischen einer negativen reellen Zahl und dem Negativen einer reellen Zahl zu erkennen. Insbesondere kann das Negative einer reellen Zahl a positiv sein. Zum Beispiel, wenn a negativ ist, sagen wir a = -5, dann ist das Negative -a = -(-5) = 5 positiv. Im Allgemeinen gelten die folgenden Beziehungen:

• Wenn a positiv ist, dann ist -a negativ.
• Wenn a negativ ist, dann ist -a positiv.

Ordnungsrelation der reellen Zahlen

In der folgenden Tabelle definieren wir die Begriffe größer als und kleiner als für reelle Zahlen a und b. Die Symbole < und > sind Ungleichheitszeichen und die Ausdrücke a > b und a < b werden Ungleichungen genannt.

Notation	Definition	Terminologie
a > b	a - b ist positiv	a ist größer als b
a < b	a - b ist negativ	a ist kleiner als b

Beispiele

• 5 > 3 weil 5 - 3 = 2 positiv ist.
• 9 < 10 weil 9 - 10 = -1 negativ ist.
• -4 < -1 weil -4 - (-1) = -3 negativ ist.
• -6 < 1 weil -6 - 1 = -7 negativ ist.

Das folgende Gesetz ermöglicht es uns, zwei beliebige reelle Zahlen zu vergleichen.

Ein Ausdruck der Form a < b < c wird als fortgesetzte Ungleichung bezeichnet und bedeutet, dass a < b und b < c; wir sagen "b liegt zwischen a und c". Ebenso bedeutet der Ausdruck c > b > a, dass c > b und b > a.

Die Notation a ≥ b wird gelesen als "a ist größer oder gleich b" und bedeutet, dass a > b oder a = b (aber nicht beides). Das Symbol a ≤ b wird gelesen als "a ist kleiner oder gleich b", und bedeutet, dass a < b oder a = b. Ausdrücke der Form a ≥ b und a ≤ b werden als nicht-strikte Ungleichungen bezeichnet, da a gleich b sein kann.

Grenzen der reellen Zahlen

Die reellen Zahlen sind eine grundlegende Menge in der Mathematik, aber sie haben Grenzen. Die wichtigste ist, dass es keine reelle Lösung für die Quadratwurzel einer negativen Zahl gibt. Diese Einschränkung erstreckt sich auf alle Wurzeln mit geradem Wurzelexponenten von negativen Zahlen. Zum Beispiel ist *\sqrt{-1}* keine reelle Zahl, da keine reelle Zahl zum Quadrat eine negative Zahl ergibt. Eine Gleichung wie *x^2+2=0* hat ebenfalls keine Lösung in dieser Zahlenmenge, da man beim Umstellen auf den Ausdruck *x=\sqrt{-2}* kommt.

Um diese Einschränkung zu überwinden, wird das Konzept der komplexen Zahlen eingeführt, die eine Erweiterung der Menge der reellen Zahlen sind und als Zahlen definiert werden, die sowohl einen Realteil als auch einen Imaginärteil enthalten. Mit ihnen wird es möglich sein, die Quadratwurzel (oder jeden geraden Wurzelexponenten) von negativen Zahlen zu finden.