Wahrheitstabellen

Wahrheitstabellen sind Werkzeuge, die es ermöglichen, die Wahrheitswerte von zusammengesetzten Aussagen zu bestimmen, unter Berücksichtigung der möglichen Interpretationen der einfachen Aussagen, aus denen sie bestehen. Mit anderen Worten, sie helfen uns festzustellen, ob eine zusammengesetzte Aussage wahr oder falsch ist, abhängig von den Wahrheitswerten ihrer einfachen Aussagen.

Wahrheitstabellen der logischen Junktoren

Einfache Aussagen sind solche, die nicht weiter zerlegt werden können, und zusammengesetzte Aussagen sind solche, die aus einfachen Aussagen mittels logischer Junktoren (nicht, und, oder, wenn... dann, genau dann, wenn) gebildet werden.

Jeder Junktor hat seine eigene Wahrheitstabelle. Der Wahrheitswert „wahr“ wird mit dem Buchstaben W (von wahr) oder der Ziffer 1 angegeben; der Wahrheitswert „falsch“ wird mit dem Buchstaben F oder der Ziffer 0 angegeben. Wir werden im Folgenden sehen, wie sich jeder Junktor verhält.

Negation (nicht, not)

Die Negation einer Aussage p, symbolisiert als ¬p und gelesen als „nicht p“, ist falsch, wenn die ursprüngliche Aussage wahr ist, und wahr, wenn die ursprüngliche Aussage falsch ist.

p	¬p
W	F
F	W

Beispiel

p: „Es regnet“
¬p: „Es regnet nicht“

Konjunktion (und, and, &)

Die Konjunktion zweier Aussagen p und q, symbolisiert als p ∧ q und gelesen als „p und q“, ist nur dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind, und in jedem anderen Fall falsch.

p	q	p ∧ q
W	W	W
W	F	F
F	W	F
F	F	F

Beispiel

p: „Die Sonne scheint“
q: „Es ist warm“
p ∧ q: „Die Sonne scheint und es ist warm“

Disjunktion (oder, or)

Die Disjunktion zweier Aussagen p und q, symbolisiert als p ∨ q und gelesen als „p oder q“, ist nur dann falsch, wenn beide Aussagen falsch sind, und in jedem anderen Fall wahr.

p	q	p ∨ q
W	W	W
W	F	W
F	W	W
F	F	F

Beispiel

p: „Ich kaufe Tomaten“
q: „Ich kaufe Salat“
p ∨ q: „Ich kaufe Tomaten oder Salat oder beides“

Exklusive Disjunktion (entweder... oder; xor)

Die exklusive Disjunktion zweier Aussagen p und q, symbolisiert als p ⊕ q und gelesen als „entweder p oder q“, ist nur dann wahr, wenn eine der Aussagen wahr und die andere falsch ist; sie ist falsch, wenn beide den gleichen Wahrheitswert haben.

p	q	p ⊕ q
W	W	F
W	F	W
F	W	W
F	F	F

Beispiel

p: „Die Sonne scheint“
q: „Es ist bewölkt“
p ⊕ q: „Entweder scheint die Sonne oder es ist bewölkt, aber nicht beides“

Konditional oder Implikation (wenn..., dann...)

Das Konditional zweier Aussagen p und q, symbolisiert als p → q und gelesen als „wenn p, dann q“, ist falsch, wenn die erste Aussage (Antezedens) wahr und die zweite (Konsequens) falsch ist, und in jedem anderen Fall wahr.

p	q	p → q
W	W	W
W	F	F
F	W	W
F	F	W

Beispiel

p: „Es regnet“
q: „Der Himmel ist bewölkt“
p → q: „Wenn es regnet, dann ist der Himmel bewölkt“

Bikonditional oder Äquivalenz (genau dann, wenn)

Das Bikonditional zweier Aussagen p und q, symbolisiert als p ↔ q und gelesen als „p genau dann, wenn q“, ist nur dann wahr, wenn beide Aussagen wahr oder beide falsch sind, und ist falsch, wenn sie unterschiedliche Wahrheitswerte haben.

p	q	p ↔ q
W	W	W
W	F	F
F	W	F
F	F	W

Beispiel

p: „Es regnet“
q: „Der Himmel ist bewölkt“
p ↔ q: „Es regnet genau dann, wenn der Himmel bewölkt ist“

Wie man Wahrheitstabellen erstellt

Im Folgenden sehen wir uns Schritt-für-Schritt-Beispiele für die Erstellung von Wahrheitstabellen an. Da die Tabelle für jede mögliche Interpretation eine Zeile enthält, beträgt die Gesamtzahl der Zeilen 2ⁿ plus die Kopfzeile, wobei n die Anzahl der einfachen Aussagen oder Variablen ist.

Tabellen mit zwei Variablen

Bei zwei einfachen Aussagen hat die Wahrheitstabelle 2² = 4 Zeilen plus die Kopfzeile.

Beispiel 1: (p ∧ q) → p

Zuerst interpretieren wir die zusammengesetzte Aussage als eine Implikation mit der Aussage „p ∧ q“ als Antezedens und der Aussage „p“ als Konsequens. Wir platzieren jede Teilaussage in einer Spalte und schreiben in jede Zeile die möglichen Wahrheitswerte (WW, WF, FW, FF).

p	q	...
W	W	...
W	F	...
F	W	...
F	F	...

Wir fügen eine dritte Spalte mit dem Antezedens der Implikation hinzu: der Konjunktion p ∧ q. Unter Rückgriff auf die Tabellen der Junktoren wissen wir, dass diese Konjunktion nur dann wahr ist, wenn p und q beide wahr sind, und in den anderen Fällen falsch ist. Mit dieser Information füllen wir die Spalte aus:

p	q	p ∧ q	...
W	W	W	...
W	F	F	...
F	W	F	...
F	F	F	...

Jetzt fügen wir die vierte und letzte Spalte hinzu, die die vollständige Aussage (p ∧ q) → p enthält, die wir auswerten wollten. Um die Wahrheitswerte zu bestimmen, müssen wir nur die Werte der Spalten p ∧ q und der Spalte p betrachten, die gelb markiert sind. Sie sind durch eine Implikation verbunden, die falsch ist, wenn das Antezedens (p ∧ q) wahr und das Konsequens (p) falsch ist. Es gibt keine Zeile, in der p ∧ q wahr ist, während p falsch ist, daher ist (p ∧ q) → p in allen Fällen eine wahre Aussage.

p	q	p ∧ q	(p ∧ q) → p
W	W	W	W
W	F	F	W
F	W	F	W
F	F	F	W

Damit haben wir die Wahrheitstabelle gelöst, die ohne Farben so aussieht:

p	q	p ∧ q	(p ∧ q) → p
W	W	W	W
W	F	F	W
F	W	F	W
F	F	F	W

Die schrittweise Vorgehensweise zur Erstellung einer Tabelle ist in der folgenden Box zusammengefasst.

Beispiel 2: (¬p ∧ q) ↔ (q ∨ ¬q)

Zuerst stellen wir fest, dass es zwei einfache Aussagen gibt, also wird die Tabelle vier Zeilen haben. Die ersten beiden Spalten sind für p und q, die folgenden für ¬p, ¬q, ¬p ∧ q, q ∨ ¬q und schließlich die vollständige Aussage (¬p ∧ q) ↔ (q ∨ ¬q).

Beginnen wir mit den ersten vier Spalten. Da es sich um eine Negation handelt, ist der Wahrheitswert das Gegenteil der ursprünglichen Aussage. Zum Beispiel ist in der dritten Zeile p F, also wird ¬p W sein; ebenso ist q W, also wird ¬q falsch sein.

p	q	¬p	¬q	...
W	W	F	F	...
W	F	F	W	...
F	W	W	F	...
F	F	W	W	...

Jetzt fügen wir die Spalten für die Konjunktion und die Disjunktion hinzu:

p	q	¬p	¬q	¬p ∧ q	q ∨ ¬q	...
W	W	F	F	F	W	...
W	F	F	W	F	W	...
F	W	W	F	W	W	...
F	F	W	W	F	W	...

Zuletzt fügen wir die ursprüngliche Aussage hinzu. Da es sich um ein Bikonditional handelt, ist es nur dann wahr, wenn die Teilaussagen denselben Wahrheitswert haben. Wir müssen uns also die gelb markierten Spalten ansehen. In der dritten Zeile haben die Aussagen denselben Wahrheitswert, also wird das Bikonditional dort wahr sein und in den anderen Fällen falsch.

p	q	¬p	¬q	¬p ∧ q	q ∨ ¬q	(¬p ∧ q) ↔ (q ∨ ¬q)
W	W	F	F	F	W	F
W	F	F	W	F	W	F
F	W	W	F	W	W	W
F	F	W	W	F	W	F

Damit haben wir die Wahrheitstabelle gelöst, die so aussieht:

p	q	¬p	¬q	¬p ∧ q	q ∨ ¬q	(¬p ∧ q) ↔ (q ∨ ¬q)
W	W	F	F	F	W	F
W	F	F	W	F	W	F
F	W	W	F	W	W	W
F	F	W	W	F	W	F

Beispiel 3: ¬(p ∧ q → p)

Wir erstellen die Tabelle auf ähnliche Weise wie in den vorherigen Fällen, und sie sollte wie folgt aussehen:

p	q	p ∧ q	p ∧ q → p	¬(p ∧ q → p)
W	W	W	W	F
W	F	F	W	F
F	W	F	W	F
F	F	F	W	F

Beispiel 4: (p → q) ↔ (¬q→¬p)

Wir erstellen die Tabelle für diese Aussage wie zuvor und erhalten:

p	q	¬p	¬q	p → q	¬q → ¬p	(p → q) ↔ (¬q → ¬p)
W	W	F	F	W	W	W
W	F	F	W	F	F	W
F	W	W	F	W	W	W
F	F	W	W	W	W	W

Wir haben eine Tautologie gefunden. Insbesondere besagt diese, dass eine Implikation äquivalent zu ihrer Kontraposition ist.

Beispiel 5: (p → q) ∧ (q → p)

p	q	p → q	q → p	(p → q) ∧ (q → p)
W	W	W	W	W
W	F	F	W	F
F	W	W	F	F
F	F	W	W	W

Diesmal ergibt die Tabelle eine Kontingenz. Beachten Sie, dass die Aussage wahr ist, wenn die einfachen Aussagen entweder beide wahr oder beide falsch sind. Dieses Verhalten ist das gleiche wie das des Bikonditionals; tatsächlich besagt ein logisches Gesetz, dass die Aussage (p → q) ∧ (q → p) äquivalent zu p ↔ q ist.

Beispiel 6: (p → q) ∨ (q → p)

p	q	p → q	q → p	(p → q) ∨ (q → p)
W	W	W	W	W
W	F	F	W	W
F	W	W	F	W
F	F	W	W	W

Die Tabelle zeigt, dass die Aussage (p → q) v (q → p) eine Tautologie ist.

Tabellen mit drei Variablen

Wenn wir drei Aussagen haben, kann die Wahrheitstabelle nach dem gleichen Verfahren wie zuvor erstellt werden, wobei zu berücksichtigen ist, dass die Anzahl der Zeilen 2³=8 plus die Kopfzeile beträgt.

Beispiel 1: (¬p ∧ q) → r

Man muss darauf achten, wie die Wahrheits- und Falschheitswerte in den ersten drei Spalten verteilt sind. Die Tabelle sollte wie folgt aussehen:

p	q	r	¬p	¬p ∧ q	(¬p ∧ q ) → r
W	W	W	F	F	W
W	W	F	F	F	W
W	F	W	F	W	W
W	F	F	F	F	W
F	W	W	W	W	W
F	W	F	W	W	F
F	F	W	W	F	W
F	F	F	W	F	W

In diesem Fall handelt es sich um eine Kontingenz, da die letzte Spalte sowohl wahre als auch falsche Werte enthält.

Beispiel 2: [(p ∧ q) ∧ r] → p

p	q	r	p ∧ q	(p ∧ q) ∧ r	[(p ∧ q) ∧ r] → p
W	W	W	W	W	W
W	W	F	W	F	W
W	F	W	F	F	W
W	F	F	F	F	W
F	W	W	F	F	W
F	W	F	F	F	W
F	F	W	F	F	W
F	F	F	F	F	W

Ein Blick auf die letzte Spalte zeigt, dass es sich um eine Tautologie handelt.

Beispiel 3: (p ∧ q) ∧ (r ∧¬p)

p	q	r	¬p	p ∧ q	r ∧¬p	(p ∧ q) ∧ (r ∧ ¬p)
W	W	W	F	W	F	F
W	W	F	F	W	F	F
W	F	W	F	F	F	F
W	F	F	F	F	F	F
F	W	W	W	F	W	F
F	W	F	W	F	F	F
F	F	W	W	F	W	F
F	F	F	W	F	F	F

Da wir für jede Interpretation nur falsche Werte haben, ergibt die Aussage eine Kontradiktion.

Beispiel 4: (p ∧ q) → r

p	q	r	p ∧ q	(p ∧ q) → r
W	W	W	W	W
W	W	F	W	F
W	F	W	F	W
W	F	F	F	W
F	W	W	F	W
F	W	F	F	W
F	F	W	F	W
F	F	F	F	W

Die Aussage (p ∧ q) → r erweist sich als eine Kontingenz.

Beispiel 5: (p ∨ q) → r

p	q	r	p ∨ q	(p ∨ q) → r
W	W	W	W	W
W	W	F	W	F
W	F	W	W	W
W	F	F	W	F
F	W	W	W	W
F	W	F	W	F
F	F	W	F	W
F	F	F	F	W

Die Wahrheitstabelle zeigt, dass die Aussage eine Kontingenz ist.

Beispiel 6: (p → q) ∧ (q → r) → (p → r)

p	q	r	p → q	q → r	p → r	(p → q) ∧ (q → r)	[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)
W	W	W	W	W	W	W	W
W	W	F	W	F	F	F	W
W	F	W	F	W	W	F	W
W	F	F	F	W	F	F	W
F	W	W	W	W	W	W	W
F	W	F	W	F	W	F	W
F	F	W	W	W	W	W	W
F	F	F	W	W	W	W	W

Die Aussage [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) erweist sich als eine Tautologie. Tatsächlich ist dies eine Schlussregel, die als Kettenschluss oder hypothetischer Syllogismus bekannt ist.

Tabellen mit vier oder mehr Variablen

Logische Wahrheitstabellen mit mehr als drei Aussagevariablen können erstellt werden, sind aber unpraktisch. Zum Beispiel werden für die Erstellung einer Tabelle mit vier einfachen Aussagen 2⁴=16 Zeilen plus die Kopfzeile benötigt. Mit fünf Aussagen sind 2⁵=32 Zeilen plus die Kopfzeile erforderlich. Die Anzahl der Zeilen steigt exponentiell, aber mit drei oder weniger Aussagen können wir problemlos arbeiten.

Beispiel: (p ∧ q) ∨ (r ∧ s)

p	q	r	s	p ∧ q	r ∧ s	(p ∧ q) ∨ (r ∧ s)
W	W	W	W	W	W	W
W	W	W	F	W	F	W
W	W	F	W	W	F	W
W	W	F	F	W	F	W
W	F	W	W	F	W	W
W	F	W	F	F	F	F
W	F	F	W	F	F	F
W	F	F	F	F	F	F
F	W	W	W	F	W	W
F	W	W	F	F	F	F
F	W	F	W	F	F	F
F	W	F	F	F	F	F
F	F	W	W	F	W	W
F	F	W	F	F	F	F
F	F	F	W	F	F	F
F	F	F	F	F	F	F

Wir sehen, dass es sich um eine Kontingenz handelt.

Geschichte

Die Wahrheitstabellen entstanden aus einem langen Entwicklungsprozess in der formalen Logik. Obwohl ihre systematische Struktur erst im 20. Jahrhundert populär wurde, reichen ihre Wurzeln in frühere Arbeiten zurück. Der Philosoph und Wissenschaftler Charles Sanders Peirce leistete in den 1880er Jahren entscheidende Beiträge, indem er Methoden zur Analyse von Aussagen durch Kombinationen von Wahrheitswerten erforschte.

Die Konsolidierung der Tabellen als System wird hauptsächlich Ludwig Wittgenstein zugeschrieben, der sie in seinem Tractatus Logico-Philosophicus (1921) verwendete, um alle möglichen Kombinationen von Wahrheitswerten in Aussagen zu untersuchen. Parallel dazu entwickelte der Mathematiker Emil Post in seiner Doktorarbeit (1920) einen äquivalenten Ansatz, der die Logik mit der frühen Computertheorie verband.

Diese Fortschritte stützten sich auf frühere Grundlagen wie die Algebra von George Boole (Mitte des 19. Jahrhunderts), die logische Operationen in Gleichungen übersetzte. Die Wahrheitstabellen gewannen mit ihrer visuellen Klarheit mit dem Aufkommen der Elektronik und Informatik im 20. Jahrhundert an praktischer Bedeutung und wurden entscheidend für den Entwurf von logischen Schaltungen und Algorithmen. Heute sind sie nach wie vor eine Säule der Logik, Philosophie und Informatik.

Zusätzliche Ressourcen

Wenn Sie üben, können Sie Ihre Tabellen mit Online-Generatoren für Wahrheitstabellen überprüfen. Diese Rechner geben Ihnen die gelöste Tabelle, mit der Sie Ihre Ergebnisse vergleichen können. Zwei Optionen sind das Tool der Stanford University und die Website https://truth-table.com/.