Logische Quantoren

Daniel Machado · Aktualisiert am 16/11/2025

Logische Quantoren sind Symbole, die in der mathematischen Logik verwendet werden, um die Anzahl der Elemente einer Menge zu bestimmen, die eine bestimmte Eigenschaft oder ein Prädikat erfüllen. Sie wandeln Aussagefunktionen (offene Aussagen mit Variablen) in vollständige Aussagen mit einem definierten Wahrheitswert um.

Eine Aussagefunktion wie P(x): „x ist eine Primzahl“ ist keine Aussage, da ihr Wahrheitswert vom Wert von x abhängt. Die Quantoren ermöglichen es, sie in eine Aussage umzuwandeln, indem sie angeben, wie viele Elemente des Grundbereichs die Eigenschaft erfüllen.

Inhaltsverzeichnis

Arten von Quantoren

Die beiden am häufigsten verwendeten Quantoren sind der Allquantor und der Existenzquantor. Es gibt auch einen Sonderfall des letzteren, der als Existenz- und Einzigkeitsquantor bekannt ist.

Der Allquantor (∀)

Der Allquantor wird verwendet, um auszudrücken, dass eine Eigenschaft für alle Elemente einer Menge oder eines Grundbereichs ohne Ausnahme gilt. Sein Symbol ist ∀ (ein umgedrehtes „A“, das vom deutschen Wort Allgemein abgeleitet ist). Er wird üblicherweise als „für alle“, „für jedes“, „jedes“ oder „immer“ gelesen.

Die allgemeine Form lautet ∀x : P(x), wobei P(x) eine Aussagefunktion ist, und wird interpretiert als: „Für alle x ist P(x) wahr“ oder „Für alle x gilt P(x)“.

Das Universum (oder der Grundbereich) ist die Menge der Elemente, über die quantifiziert wird. Dessen Definition ist wesentlich, da die Bedeutung einer Aussage vollständig davon abhängt. Wenn wir einen Grundbereich U haben, können wir ihn direkt in die quantifizierte Aussage aufnehmen: ∀x ∈ U : P(x).

Eine allquantifizierte Aussage ist wahr, wenn alle Elemente des Grundbereichs die angegebene Bedingung erfüllen. Wenn es mindestens ein Element gibt, das sie nicht erfüllt, ist die Aussage falsch.

Dieser Quantor ermöglicht es, Sätze wie „alle Menschen sind sterblich“, „alle Pflanzen sind Lebewesen“, „alle Argentinier sind Lateinamerikaner“ usw. zu bilden. Im Folgenden sehen wir Beispiele aus der Mathematik.

Beispiele

∀x ∈ ℕ₀ : x ≥ 0 besagt: „Für jede natürliche Zahl x gilt, dass x größer oder gleich null ist.“ Dies ist wahr.
∀x ∈ R : x ≥ 1 behauptet, dass jede reelle Zahl größer oder gleich 1 ist; dies ist falsch, da es reelle Zahlen gibt, die kleiner als 1 sind.
∀x ∈ R : x² ≥ 0 besagt, dass das Quadrat jeder reellen Zahl größer oder gleich null ist. Dies ist eine wahre Aussage, da das Quadrat jeder reellen Zahl immer eine nicht negative Zahl ist.
„∀x ∈ Z : 2x ist gerade“ behauptet, dass für jede ganze Zahl gilt, dass ihr Doppeltes gerade ist. Dies ist eine wahre Aussage, da jede mit 2 multiplizierte ganze Zahl per Definition eine gerade Zahl ergibt.
∀x ∈ R : sin²(x) + cos²(x) = 1 bedeutet, dass für jede reelle Zahl die fundamentale trigonometrische Identität gilt; dies ist eine wahre Aussage.
∀n ∈ ℕ₀ : n + 1 > n sagt uns, dass das Ergebnis der Addition von 1 zu einer beliebigen natürlichen Zahl immer größer ist als die ursprüngliche Zahl. Dies ist wahr.

Der Existenzquantor (∃)

Der Existenzquantor wird verwendet, um auszudrücken, dass es mindestens ein Element im Grundbereich gibt, das eine bestimmte Eigenschaft oder ein Prädikat erfüllt. Sein Symbol ist ∃, das vom umgedrehten Buchstaben „E“ des englischen Wortes exists („existiert“) abgeleitet ist. Er wird üblicherweise als „es existiert“, „es gibt mindestens ein“ oder „es existiert mindestens ein Element, sodass ...“ gelesen.

Die allgemeine Form dieses Quantors wird geschrieben als: ∃x | P(x) und bedeutet, dass es einen Wert von x im betrachteten Universum gibt, der die Aussage P(x) wahr macht.

Eine Aussage, die den Quantor ∃ enthält, ist wahr, wenn mindestens ein Element im Grundbereich gefunden werden kann, das die angegebene Bedingung erfüllt. Es spielt keine Rolle, ob mehrere Elemente oder sogar alle sie erfüllen; es genügt, dass eines existiert.

Dieser Quantor ermöglicht es, Sätze wie „es gibt junge Menschen“, „es gibt Holzmöbel“, „es gibt orangefarbene Katzen“ usw. zu bilden. Im Folgenden sehen wir Beispiele aus der Mathematik.

Beispiele

∃x ∈ R | x² = 4 bedeutet „es existiert eine reelle Zahl, deren Quadrat 4 ist“; dies ist wahr: 2 ist ein Beispiel, -2 ebenfalls.
„∃n ∈ ℕ₀ / n ist gerade und prim“ sagt uns, dass es mindestens eine natürliche Zahl gibt, die gerade und prim ist; auch dies ist wahr: 2 ist ein Fall (tatsächlich der einzige).
∃x ∈ Z | x + 5 = 0 drückt aus, dass es eine ganze Zahl gibt, die zu 5 addiert 0 ergibt; dies ist wahr, denn -5 ist diese Zahl.
∃y ∈ Q / y² = 2 besagt, dass es eine rationale Zahl gibt, deren Quadrat 2 ist. Diese Aussage ist falsch, da √2 irrational ist.
∃x ∈ R | x³ = 27 behauptet, dass es eine reelle Zahl gibt, deren Kubik 27 ist; in diesem Fall x = 3, also ist die Aussage wahr.
∃x ∈ R / x² = -1 drückt aus, dass es eine reelle Zahl gibt, die quadriert -1 ergibt. Diese Aussage ist falsch, da jede reelle Zahl quadriert nicht negativ ist. Wäre der Grundbereich die Menge der komplexen Zahlen (C), wäre es eine wahre Aussage.

Der Existenz- und Einzigkeitsquantor (∃!)

Der Existenz- und Einzigkeitsquantor wird verwendet, um auszudrücken, dass genau ein Element im Grundbereich eine bestimmte Bedingung erfüllt. Sein übliches Symbol ist ∃!, das als „es existiert genau ein“ oder „es gibt nur ein“ gelesen wird.

Die allgemeine Form lautet: ∃! x | P(x) und bedeutet, dass es im Grundbereich nur einen einzigen Wert von x gibt, der die Aussage P(x) wahr macht.

Eine Aussage mit ∃! ist nur dann wahr, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

Es existiert mindestens ein Element, das die Eigenschaft erfüllt.
Dieses Element ist einzigartig, d. h. es gibt keine zwei oder mehr, die sie erfüllen.

Beispiele

∃! n ∈ ℕ₀ | n ist gerade und prim bedeutet „es existiert genau eine natürliche Zahl, die gerade und prim ist“. Dies ist wahr, da nur die Zahl 2 diese Bedingung erfüllt.
∃! x ∈ R | x² = 4 behauptet „es existiert genau eine reelle Zahl, deren Quadrat 4 ist“. Dies ist falsch, da sowohl 2 als auch -2 die Bedingung erfüllen, also ist es nicht einzigartig.
∃! n ∈ ℕ₀ | n > 1000 bedeutet „es existiert genau eine natürliche Zahl, die größer als 1000 ist“. Dies ist falsch, da es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, die größer als 1000 sind.
∃! n ∈ ℕ₀ | n = 7 besagt „es existiert genau eine natürliche Zahl, die gleich 7 ist“. Dies ist wahr, da nur die Zahl 7 die Aussage erfüllt.
∃! x ∈ Z | x + 5 = 0 besagt „es existiert genau eine ganze Zahl, die zu 5 addiert 0 ergibt“. Dies ist wahr, da nur x = -5 die Bedingung erfüllt.
∃! y ∈ Q | y² = 2 behauptet „es existiert genau eine rationale Zahl, deren Quadrat 2 ist“. Dies ist falsch, da in Wirklichkeit keine rationale Zahl mit dieser Eigenschaft existiert.

Quantoren beziehen sich auf die nächstgelegene Aussagefunktion, es sei denn, dies wird durch Gruppierungszeichen (Klammern, eckige Klammern, geschweifte Klammern) geändert. Zum Beispiel: ∀x: P(x) ∨ Q(x) wird als [∀x: P(x)] ∨ Q(x) interpretiert. Wenn wir möchten, dass sich der Quantor auf beide Funktionen bezieht, müssen wir ∀x: [ P(x) ∨ Q(x) ] schreiben.

Negation von Quantoren

Die Negation einer quantifizierten Aussage bedeutet, den Quantor umzukehren und gleichzeitig das Prädikat zu negieren. Dieses Prinzip gilt für den Allquantor (∀) und den Existenzquantor (∃). Der Einzigkeitsquantor (∃!) wird als Sonderfall des Existenzquantors betrachtet, weshalb seine Negation abgeleitet und nicht direkt gelöst wird.

Negation des Allquantors

¬[∀x : P(x)] ≡ ∃x | ¬P(x)

Das heißt: „Es ist nicht wahr, dass alle x P(x) erfüllen“ ist äquivalent zu „es existiert mindestens ein x, das P(x) nicht erfüllt“.

Intuitiv ist die Aussage „es ist nicht wahr, dass alle Schwäne weiß sind“ logisch äquivalent zur Aussage „es existiert mindestens ein Schwan, der nicht weiß ist“. Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um eine Allaussage zu widerlegen.

Beispiele

1) ¬(∀x ∈ R | x² > 0) ≡ ∃x ∈ R | ¬(x² > 0)

Hier ist „es ist nicht wahr, dass für jede reelle Zahl ihr Quadrat größer als 0 ist“ äquivalent zu „es existiert mindestens eine reelle Zahl, deren Quadrat nicht größer als 0 ist“. Dies ist wahr, da x = 0 ein Gegenbeispiel ist (0² = 0 ist nicht größer als 0). Mit diesem Wissen könnten wir schreiben: ∃x ∈ R | x² = 0.

2) ¬(∀n ∈ ℕ₀ | n ist prim) ≡ ∃n ∈ ℕ₀ | ¬(n ist prim) ≡ ∃n ∈ ℕ₀ | n ist nicht prim

In diesem Fall ist „es ist nicht wahr, dass alle natürlichen Zahlen Primzahlen sind“ äquivalent zu „es existiert mindestens eine natürliche Zahl, die keine Primzahl ist“. Dies ist wahr, zum Beispiel ist n = 4 keine Primzahl.

3) ¬(∀x ∈ Z | x² ist ungerade) ≡ ∃x ∈ Z | x² ist gerade

In diesem Beispiel ist „es ist nicht wahr, dass das Quadrat aller ganzen Zahlen ungerade ist“ äquivalent zur Behauptung, dass „es mindestens eine ganze Zahl gibt, deren Quadrat nicht ungerade ist“. Dies ist wahr, da x = 2 dies erfüllt (2² = 4, was gerade ist).

Negation des Existenzquantors

¬[∃x | P(x)] ≡ ∀x : ¬P(x)

Das heißt: „Es ist nicht wahr, dass es ein x gibt, das P(x) erfüllt“ ist äquivalent zu „alle x erfüllen P(x) nicht“.

In der Alltagssprache ist die Aussage „es ist nicht wahr, dass es Drachen gibt, die Feuer speien“ dasselbe wie die Behauptung „alle Drachen speien kein Feuer“, oder noch einfacher, „kein Drache speit Feuer“.

Beispiele

1) ¬(∃n ∈ ℕ₀ | n < 0) ≡ ∀n ∈ ℕ₀ | ¬(n < 0)

In diesem Fall sehen wir, dass „es ist nicht wahr, dass es eine natürliche Zahl kleiner als 0 gibt“ äquivalent ist zu „alle natürlichen Zahlen sind nicht kleiner als 0“. Dies ist wahr, da die natürlichen Zahlen bei 0 beginnen und keine von ihnen negativ ist.

2) ¬(∃x ∈ Q | x² = 2) ≡ ∀x ∈ Q | x² ≠ 2

Hier ist „es ist nicht wahr, dass es eine rationale Zahl gibt, deren Quadrat 2 ist“ äquivalent zu „für jede rationale Zahl ist ihr Quadrat nicht 2“. Dies ist wahr, da √2 nicht rational ist.

3) ¬(∃x ∈ R | x² = -1) ≡ ∀x ∈ R | x² ≠ -1

In diesem Fall ist „es ist nicht wahr, dass es eine reelle Zahl gibt, deren Quadrat -1 ist“ äquivalent zu der Aussage „für jede reelle Zahl ist ihr Quadrat nicht -1“. Dies ist wahr, da keine reelle Zahl x² = -1 erfüllt.

Die Fälle der Negation sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst.

Fall	Vorgehensweise	Symbolische Schreibweise
Negation des Allquantors	Er wird durch den Existenzquantor ersetzt und das Prädikat wird negiert	¬[∀x : P(x)] ≡ ∃x \| ¬P(x)
Negation des Existenzquantors	Er wird durch den Allquantor ersetzt und das Prädikat wird negiert	¬[∃x \| P(x)] ≡ ∀x : ¬P(x)

Kombination von Quantoren

In einer logischen Aussage können mehrere Quantoren gleichzeitig auftreten, sogar eine Kombination aus Existenzquantoren (∃) und Allquantoren (∀). Wenn die Quantoren vom gleichen Typ sind (alle ∀ oder alle ∃), ändert die Reihenfolge die Bedeutung nicht. Wenn die Quantoren jedoch gemischt sind (∃ und ∀), ist die Reihenfolge wichtig und kann die Bedeutung der Aussage verändern.

Um dies zu veranschaulichen, betrachten wir ein generisches Prädikat P(x, y). Die vier Hauptschemata sind:

1) ∀x ∀y : P(x, y), gelesen als „für alle x und für alle y gilt P(x, y)“.

Zum Beispiel wird das Kommutativgesetz der Addition und Multiplikation reeller Zahlen so ausgedrückt:

∀x ∈ R ∀y ∈ R : x + y = y + x

∀x ∈ R ∀y ∈ R : x · y = y · x

2) ∃x ∃y | P(x, y), gelesen als „es existieren ein x und ein y, die P(x, y) erfüllen“.

Ein Beispiel ist: ∃x ∈ Z ∃y ∈ Z | x² + y²= 25. Dies ist wahr, da x = 3, y = 4 die Gleichung erfüllen.

3) ∀x ∃y | P(x, y), gelesen als „für jedes x existiert ein y, das P(x, y) erfüllt“.

Zum Beispiel: ∀x ∈ R ∃y ∈ R | x + y = 0. Dies ist wahr, da für jede reelle Zahl x immer ein y = -x existiert, das sie in der Summe aufhebt (das additive Inverse).

4) ∃x ∀y : P(x, y) , gelesen als „es existiert ein x, sodass für alle y P(x, y) gilt“.

Beispiel: ∃x ∈ R ∀y ∈ R : x · y = 0. Dies ist wahr, denn wenn x = 0 ist, ist das Produkt immer 0, unabhängig vom Wert von y.