Mengenlehre

Daniel Machado · Aktualisiert am 16/11/2025

Die Mengenlehre ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die Eigenschaften und Beziehungen von Mengen, also wohldefinierten Sammlungen von Objekten, untersucht. Diese Mengen können je nach Kontext Zahlen, Buchstaben, Funktionen oder andere Mengen enthalten.

Die Mengenlehre wurde Ende des 19. Jahrhunderts von Mathematikern wie Georg Cantor und Richard Dedekind entwickelt und bietet einen formalen Rahmen für die Konstruktion anderer mathematischer Strukturen. Sie wird in praktisch allen Bereichen der Mathematik sowie in der Logik und der Informatik umfassend genutzt.

Inhaltsverzeichnis

Grundlegende Konzepte

Die grundlegenden Konzepte der Mengenlehre sind die der Menge, des Elements und der Zugehörigkeit. Auf ihrer Basis werden die Kardinalität, die Inklusionsbeziehungen, die Gleichheit von Mengen und die weiteren Operationen definiert.

Menge

Eine Menge ist eine Sammlung von wohldefinierten und voneinander unterscheidbaren Objekten. Diese Objekte können konkret (Zahlen, Buchstaben) oder abstrakt (Ideen, Konzepte) sein.

Mengen werden mit Großbuchstaben A, B, C usw. bezeichnet. Die Elemente werden in geschweiften Klammern {}, geschrieben und durch Kommas getrennt.

Beispiele:

A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c}
C = {rot, grün, blau}

Element

Ein Element ist ein Objekt, das Teil einer Menge ist. Es kann alles Mögliche sein, wie eine Zahl, ein Buchstabe, eine Person, ein Tier, ein physisches Objekt oder sogar ein abstraktes Konzept.

Zwei gleiche Elemente in derselben Menge werden als ein einziges betrachtet. Außerdem spielt die Reihenfolge, in der die Elemente aufgeschrieben werden, keine Rolle; die Menge bleibt dieselbe.

Beispiele:

Die Menge A = {1, 2, 3} hat drei Elemente: die Zahl 1, die Zahl 2 und die Zahl 3.
Die Menge B = {a, b, c} hat drei Elemente: den Buchstaben "a", den Buchstaben "b" und den Buchstaben "c".
Die Menge C = {rot, grün, blau} hat drei Elemente: die Farbe Rot, die Farbe Grün und die Farbe Blau.

Zugehörigkeit

Die Zugehörigkeit ist die Beziehung, die ein Element zu einer Menge hat, wobei es Teil davon sein kann oder nicht. Um anzugeben, dass das Element zur Menge gehört, wird das Symbol ∈ verwendet; andernfalls wird das Symbol ∉ benutzt.

Beispiele:

1 ∈ A (die Zahl 1 gehört zur Menge A)
c ∈ B (der Buchstabe "c" gehört zur Menge B)
rot ∈ C (die Farbe Rot gehört zur Menge C)
4 ∉ A (die Zahl 4 gehört nicht zur Menge A)
d ∉ B (der Buchstabe "d" gehört nicht zur Menge B)

Kardinalität

Die Kardinalität einer Menge ist ein Maß, das angibt, wie viele Elemente diese Menge hat. Mit anderen Worten, es ist die Anzahl der verschiedenen Elemente, die in der Menge enthalten sind. Die Kardinalität einer Menge A wird durch Card(A) oder |A| symbolisiert.

Beispiele:

Die Kardinalität der Menge B = {a, b, c} ist |B|=3, weil sie drei Elemente hat.
Die Kardinalität der Menge D = {1, 2, e, f, g} ist |D|=5, weil sie fünf Elemente hat.

Die Kardinalität einer Menge kann endlich oder unendlich sein. Bei endlichen Mengen, wie in den vorherigen Beispielen, ist die Kardinalität einfach die Anzahl der Elemente, die die Menge enthält. Bei unendlichen Mengen, wie der Menge aller positiven natürlichen Zahlen (1, 2, 3, 4, ...), ist die Kardinalität unendlich und wird mit speziellen Symbolen wie ℵ₀ (Aleph-Null) ausgedrückt.

Gleichheit von Mengen

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie genau dieselben Elemente enthalten, unabhängig von der Reihenfolge, in der sie aufgeschrieben sind.

Beispiele:

A = {1, 2, 3} und E = {3, 1, 2} sind gleiche Mengen.
C = {rot, grün, blau} und F = {rot, blau, grün} sind gleiche Mengen.
B = {a, b, c} und G={a, b, c, d} sind keine gleichen Mengen, weil sie nicht dieselben Elemente haben.

Inklusion von Mengen

Wenn jedes Element einer Menge A auch ein Element einer Menge B ist, dann sagt man, dass A in B enthalten ist oder dass A eine Teilmenge von B ist. Symbolisch schreibt man A⊆B.

A ⊆ B genau dann, wenn ∀x: (x ∈ A → x ∈ B)

Wenn mindestens ein Element von A nicht in B enthalten ist, sagt man, dass A keine Teilmenge von B ist, und schreibt A⊈B. Wenn jedes Element von A in B enthalten ist, aber B mindestens ein Element hat, das nicht in A ist, dann sagt man, dass A eine echte Teilmenge von B ist, und symbolisiert dies als A⊂B.

Beispiele:

A = {1, 2} ist eine Teilmenge von B = {1, 2, 3, 4, 5}, weil jedes Element von A auch ein Element von B ist: A⊆B. Es gilt auch A⊂B, weil B Elemente hat, die nicht in A sind.
C = {rot, grün} ist eine Teilmenge von D = {rot, grün, blau}, also C ⊆ D.

Mengenoperationen

Es gibt verschiedene Operationen, die zwischen zwei oder mehr Mengen durchgeführt werden können, auch Mengenalgebra genannt. Diese sind:

Vereinigung: Die Vereinigung zweier Mengen A und B ist die Menge, die alle Elemente enthält, die in A, in B oder in beiden enthalten sind. Sie wird mit A ∪ B bezeichnet.
Schnittmenge: Die Schnittmenge zweier Mengen A und B ist die Menge, die alle Elemente enthält, die sowohl in A als auch in B enthalten sind. Sie wird mit A ∩ B bezeichnet.
Differenz: Die Differenz zweier Mengen A und B ist die Menge, die alle Elemente enthält, die in A, aber nicht in B sind. Sie wird mit A \ B bezeichnet.
Symmetrische Differenz: Die symmetrische Differenz zwischen zwei Mengen A und B ist die Menge, die aus den Elementen von A, die nicht zu B gehören, und den Elementen von B, die nicht zu A gehören, besteht; das heißt, jene Elemente, die ausschließlich zu einer der beiden Mengen gehören. Sie wird mit A Δ B bezeichnet.
Komplement: Das Komplement einer Menge A ist die Menge Aᶜ, die aus allen Elementen der Grundmenge U besteht, die nicht in A enthalten sind. Die Grundmenge ist diejenige, die alle für den jeweiligen Studienkontext relevanten Elemente enthält.

Arten von Mengen

In der Mengenlehre gibt es verschiedene Arten von Mengen, von denen einige sind:

Endliche Menge: ist eine Menge, die eine endliche Anzahl von Elementen hat.
Unendliche Menge: ist eine Menge, die eine unendliche Anzahl von Elementen hat.
Leere Menge: ist die Menge, die kein Element enthält. Sie wird mit Ø bezeichnet.
Einermenge: ist eine Menge, die genau ein Element enthält.
Grundmenge: ist eine Menge, die alle relevanten Elemente eines gegebenen Kontexts enthält. Sie wird typischerweise als U bezeichnet.
Potenzmenge: Die Potenzmenge von A, bezeichnet als P(A), ist die Menge, die alle möglichen Teilmengen von A enthält, einschließlich der leeren Menge und A selbst.

Einige besondere Mengen, die hervorgehoben werden können, sind die Zahlenmengen, die Zahlen mit bestimmten gemeinsamen Eigenschaften enthalten: natürliche Zahlen (N), ganze Zahlen (Z), rationale Zahlen (Q), irrationale Zahlen (I), reelle Zahlen (R), komplexe Zahlen (C).

Venn-Diagramme

Mengen werden oft grafisch durch sogenannte Venn-Diagramme dargestellt. Diese Diagramme sind geschlossene, ebene Figuren; normalerweise wird die Grundmenge durch das Innere eines Rechtecks und die anderen Mengen durch Kreise innerhalb des Rechtecks dargestellt. Innerhalb dieser Figuren werden die entsprechenden Elemente platziert.

Für die Mengen A = {a, b, c} und B = {e, f} sieht das Venn-Diagramm beispielsweise wie folgt aus:

Symbolik

In den folgenden Tabellen wird die gesamte Symbolik, die für die Arbeit in der Mengenlehre benötigt wird, zusammen mit ihrer Bedeutung dargestellt.

Grundlegende Symbole der Mengenlehre und ihre Operationen

Symbol	Bedeutung
{ }	Menge: Sammlung von wohldefinierten Objekten.
a ∈ A	Das Element a gehört zur Menge A.
b ∉ A	Das Element b gehört nicht zur Menge A.
\|A\|	Kardinalität der Menge A.
A = B	Die Mengen A und B sind gleich.
A ⊆ B	A ist eine Teilmenge von B.
A ⊂ B	A ist eine echte Teilmenge von B.
A ⊈ B	A ist keine Teilmenge von B.
A ⊄ B	A ist keine echte Teilmenge von B.
A ∪ B	Vereinigung der Mengen A und B.
A ∩ B	Schnittmenge der Mengen A und B.
A \ B	Differenz zwischen den Mengen A und B.
A Δ B	Symmetrische Differenz zwischen den Mengen A und B.
U	Grundmenge
Aᶜ	Komplement der Menge A.
Ø	Leere Menge.
P(A)	Potenzmenge der Menge A.
A x B	Kartesisches Produkt A mal B.