Symmetrische Differenz von Mengen

Die symmetrische Differenz von Mengen ist eine Operation, die eine neue Menge erzeugt, die aus den Elementen besteht, die sich in einer der ursprünglichen Mengen befinden, aber nicht in beiden. Sie wird mit dem Symbol Δ dargestellt, welches dem griechischen Großbuchstaben Delta entspricht und die Form eines Dreiecks hat.

Alternativ kann die symmetrische Differenz als die Vereinigung der Mengen abzüglich ihrer Schnittmenge verstanden werden:

A Δ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

Eine weitere äquivalente Definitionsmöglichkeit besteht darin, die einfachen Differenzen zwischen den Mengen zu kombinieren:

A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A)

Beispiele

Um die symmetrische Differenz zu berechnen, können wir zwei äquivalente Methoden anwenden, die immer zum gleichen Ergebnis führen:

Methode 1: Die Vereinigung der Mengen berechnen und ihre Schnittmenge abziehen, gemäß dieser Formel:

A Δ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

Methode 2: Die beiden einfachen Differenzen zwischen den Mengen vereinigen, gemäß dieser anderen Formel:

A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A)

Im Folgenden werden wir mehrere Fälle betrachten, in denen diese Verfahren angewendet werden.

Beispiel 1

Gegeben seien die Mengen A = {2, 4, 6, 8} und B = {6, 8, 10, 12}. Finden Sie ihre symmetrische Differenz.

Lösung

Wir werden beide Methoden anwenden, um zu überprüfen, dass das Ergebnis dasselbe ist.

Methode 1: (A ∪ B) \ (A ∩ B)

Zuerst finden wir die Vereinigung von A und B: A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}.

Dann identifizieren wir ihre Schnittmenge: A ∩ B = {6, 8}.

Schließlich subtrahieren wir die Schnittmenge von der Vereinigung:

(A ∪ B) \ (A ∩ B) = {2, 4, 6, 8, 10, 12} \ {6, 8} = {2, 4, 10, 12}

Methode 2: (A \ B) ∪ (B \ A)

Wir berechnen die Elemente, die nur in A sind: A \ B = {2, 4}.

Wir berechnen die Elemente, die nur in B sind: B \ A = {10, 12}.

Vereinigen wir beide Ergebnisse:

(A \ B) ∪ (B \ A) = {2, 4} ∪ {10, 12} = {2, 4, 10, 12}

Beide Methoden bestätigen, dass die symmetrische Differenz ist:

A Δ B = {2, 4, 10, 12}

Beispiel 2

Bestimmen Sie die symmetrische Differenz von C = {a, e, i, o, u} und D = {e, o, b, c, d}.

Lösung

Wir verwenden die Methode der Vereinigung der einfachen Differenzen. Dazu suchen wir zuerst die exklusiven Elemente von C:

C \ D = {a, i, u}

Jetzt identifizieren wir die exklusiven Elemente von D:

D \ C = {b, c, d}

Die Vereinigung dieser beiden Mengen ergibt das Ergebnis:

C Δ D = {a, i, u, b, c, d}

Beispiel 3

Berechnen Sie die symmetrische Differenz von E = {1, 3, 5} und F = {2, 4, 6}.

Lösung

Wir wenden die Methode der Vereinigung abzüglich der Schnittmenge an.

Die Vereinigung ist E ∪ F = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Da sie keine gemeinsamen Elemente haben, ist ihre Schnittmenge leer: E ∩ F = ∅.

Die Subtraktion der leeren Menge verändert die Menge nicht, daher:

E Δ F = {1, 2, 3, 4, 5, 6} \ ∅ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Beispiel 4

Gegeben seien die Mengen P = {10, 20, 30, 40} und Q = {5, 10, 15, 20}. Ermitteln Sie P Δ Q.

Lösung

Wir berechnen die Vereinigung und die Schnittmenge.

P ∪ Q = {5, 10, 15, 20, 30, 40}

P ∩ Q = {10, 20}

Die symmetrische Differenz ist die Vereinigung ohne die Schnittmenge:

P Δ Q = {5, 10, 15, 20, 30, 40} \ {10, 20} = {5, 15, 30, 40}

Beispiel 5

Bestimmen Sie die symmetrische Differenz von A = {x ∈ ℕ₀ | x ist gerade ∧ x < 10} und B = {x ∈ ℕ₀ | x ist ein Vielfaches von 3 ∧ x < 10}.

Lösung

Zuerst schreiben wir beide Mengen in aufzählender Form:

A = {0, 2, 4, 6, 8}

B = {0, 3, 6, 9}

Nun verwenden wir die Methode der Vereinigung der einfachen Differenzen.

A \ B = {2, 4, 8}

B \ A = {3, 9}

Wenn wir beide Ergebnisse vereinigen, erhalten wir:

A Δ B = {2, 3, 4, 8, 9}

Beispiel 6

Finden Sie die symmetrische Differenz von P = {x ∈ ℤ | -2 ≤ x ≤ 2} und Q = {x ∈ ℕ₀ | x² < 10}.

Lösung

Wir beginnen damit, die Elemente jeder Menge aufzulisten.

P enthält die ganzen Zahlen von -2 bis 2: P = {-2, -1, 0, 1, 2}.

Q enthält die natürlichen Zahlen, deren Quadrat kleiner als 10 ist: Q = {0, 1, 2, 3}.

Wir wenden die Methode der Vereinigung abzüglich der Schnittmenge an.

P ∪ Q = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}

P ∩ Q = {0, 1, 2}

Daher ist die symmetrische Differenz:

P Δ Q = (P ∪ Q) \ (P ∩ Q) = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} \ {0, 1, 2} = {-2, -1, 3}

Eigenschaften

Die Operation der symmetrischen Differenz in der Mengenlehre besitzt bemerkenswerte Eigenschaften, die ihre Handhabung und Berechnung erleichtern.

1) Kommutativität: Die Reihenfolge der Mengen ändert nichts am Ergebnis.

A Δ B = B Δ A

2) Assoziativität: Die Art der Gruppierung der Mengen beeinflusst die resultierende Menge nicht.

(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)

3) Neutrales Element: Die symmetrische Differenz einer beliebigen Menge mit der leeren Menge ergibt die ursprüngliche Menge.

A Δ ∅ = A

4) Inverses Element: Jede Menge ist ihr eigenes Inverses für diese Operation; die symmetrische Differenz einer Menge mit sich selbst ergibt die leere Menge.

A Δ A = ∅

5) Distributivität der Schnittmenge: Die Schnittmengenbildung ist distributiv bezüglich der symmetrischen Differenz.

A ∩ (B Δ C) = (A ∩ B) Δ (A ∩ C)

6) Beziehung zu disjunkten Mengen: Wenn zwei Mengen disjunkt sind (keine gemeinsamen Elemente haben), ist ihre symmetrische Differenz gleich ihrer Vereinigung.

Wenn A ∩ B = ∅, dann ist A Δ B = A ∪ B

7) Beziehung zu Teilmengen: Wenn eine Menge eine Teilmenge einer anderen ist, reduziert sich die symmetrische Differenz auf die einfache Mengendifferenz.

Wenn A ⊆ B, dann ist A Δ B = B \ A

Wenn B ⊆ A, dann ist A Δ B = A \ B

8) Kürzungsregel: Wenn die symmetrische Differenz von zwei Mengen mit einer dritten Menge gleich ist, dann sind die beiden ursprünglichen Mengen gleich.

Wenn A Δ C = B Δ C, dann ist A = B