Potenzmenge

Berechnung der Potenzmenge

Um die Potenzmenge einer Menge A zu bestimmen, muss man wissen, dass eine Menge mit n Elementen genau 2ⁿ Teilmengen besitzt. Die leere Menge und die Menge A selbst gehören immer dazu, da die leere Menge in jeder Menge enthalten ist und jede Menge in sich selbst. Die restlichen Teilmengen werden durch die Kombination aller möglichen Elemente von A gebildet.

Beispiel 1

Bestimme die Potenzmenge von A = {1, 3}.

Lösung

Da A zwei Elemente hat, gibt es 2² = 4 Teilmengen. Diese sind ϕ, {1}, {3}, {1, 3} = A. Also:

P(A) = {ϕ, {1}, {3}, A}

Beispiel 2

Berechne die Potenzmenge von B = {c, d, e}.

Lösung

Mit drei Elementen wissen wir, dass es 2³ = 8 Teilmengen von B gibt. Diese sind: 

ϕ {c} {d} {e}
{c,d} {c,e}  {d,e}
{c,d,e}

Also ist P(B) die Menge, die aus allen oben genannten Mengen besteht:

P(B) = {ϕ, {c}, {d}, {e}, {c,d}, {c,e}, {d,e}, {c,d,e}}

Es ist wichtig zu beachten, dass bei der aufzählenden Mengenschreibweise die Reihenfolge der Elemente keine Rolle spielt. Deshalb sind beispielsweise die Mengen {c, e} und {e, c} gleich, und es wird nur eine davon notiert.

Beispiel 3

Gegeben sei die Menge C = {1, 3, 5, 7}. Bestimme ihre Potenzmenge.

Lösung

Da C vier Elemente hat, gibt es 2⁴ = 16 Teilmengen. Diese sind: 

ϕ {1}  {3}  {5}  {7} 
{1, 3} {1, 5} {1, 7}
{3, 5} {3, 7} {5, 7}
{1, 3, 5} {1, 3, 7} {3, 5, 7} {1, 5, 7}
{1, 3, 5, 7} = C

Also ist P(C) die Menge, die aus allen genannten Mengen besteht.

Es ist hilfreich, zuerst alle einelementigen Mengen zu bilden, dann alle zweielementigen, dann die dreielementigen und so weiter. Auf diese Weise geht keine Menge verloren. Am Ende sollte man immer überprüfen, ob die Anzahl mit der anfänglichen Berechnung übereinstimmt.

Die Vorstellung einer Menge, die aus Mengen besteht, kann verwirrend sein, da wir bereits Beziehungen zwischen Mengen wie die Teilmengenbeziehung oder die Gleichheit (die als gegenseitige Teilmengenbeziehung definiert werden kann) betrachtet haben. Für eine gegebene Menge A gehören ihre Teilmengen zu P(A) und sind in A enthalten. Betrachten wir das zweite Beispiel: {c} ∈ P(B) und {c} ⊆ B. Es ist nicht richtig, dass {c} eine Teilmenge von P(B) ist (obwohl beide Mengen sind, ist die Beziehung zwischen ihnen eine Element-Beziehung, keine Teilmengen-Beziehung). Es ist auch nicht richtig, dass {c} ein Element von B ist, da B nicht die Menge {c} enthält, sondern direkt das Element c. Daher gilt: {c} ∉ B und {c} ⊈ P(B).

Spezielle Potenzmengen

Da die leere Menge keine Elemente hat, gibt es 2⁰ = 1 Teilmenge: die leere Menge selbst. Daher ist die Potenzmenge der leeren Menge die Menge, deren einziges Element die leere Menge ist:

P(ϕ) = {ϕ}

Eine einelementige Menge ist eine Menge mit nur einem Element. Daher hat sie 2¹ = 2 Teilmengen: die leere Menge und sich selbst. Das heißt, wenn A eine einelementige Menge ist,

P(A) = {ϕ, A}