Mengenoperationen

Daniel Machado · Aktualisiert am 16/11/2025

Es gibt fünf Mengenoperationen: Vereinigung, Schnitt, Differenz, symmetrische Differenz und Komplement. Im Folgenden werden wir ihre Definitionen mit jeweils gelösten Übungen betrachten.

Inhaltsverzeichnis

Vereinigung von Mengen

Die Vereinigung von A und B ist die Menge, die aus den Elementen besteht, die in A, in B oder in beiden Mengen enthalten sind. Sie wird als A ∪ B symbolisiert und als "A vereinigt B" gelesen.

A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

Mengenalgebra. Venn-Diagramm der Vereinigung von Mengen — Venn-Diagramm der Vereinigung

Um die Vereinigung zweier Mengen zu berechnen, müssen wir die Elemente beider Mengen in einer einzigen Menge zusammenfassen. Zum Beispiel:

Wenn A = {1, 4, 6} und B = {7, 6, 9, 2}, dann ist:

A ∪ B = {1, 2, 4, 6, 7, 9}

Beachten Sie, dass doppelte Elemente in der Vereinigung nur einmal aufgeführt werden.

Schnittmenge

Die Schnittmenge von A und B ist die Menge, die aus den Elementen besteht, die gleichzeitig zu beiden Mengen gehören. Sie wird als A ∩ B symbolisiert und als "A geschnitten B" gelesen.

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

Mengenalgebra. Venn-Diagramm der Schnittmenge — Venn-Diagramm der Schnittmenge

Um die Schnittmenge zweier Mengen zu berechnen, müssen wir die gemeinsamen Elemente beider Mengen betrachten. Zum Beispiel:

Wenn A = {1, 4, 6, 2} und B = {7, 6, 9, 2}, dann ist:

A ∩ B = {2, 6}

Wenn die Mengen keine gemeinsamen Elemente haben, ist ihre Schnittmenge die leere Menge. In diesem Fall werden die Mengen als disjunkt bezeichnet. Zum Beispiel, wenn C = {2, 5} und D = {3, 7}, dann ist C ∩ D = ϕ.

Differenzmenge

Die Differenzmenge von A und B ist die Menge, die aus den Elementen des ersten besteht, die nicht zum zweiten gehören. Sie wird als A \ B symbolisiert und als "A ohne B" gelesen.

A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}

Mengenalgebra. Venn-Diagramm der Differenzmenge — Venn-Diagramm der Differenzmenge

Um die Differenz zweier Mengen zu berechnen, müssen wir die Elemente der ersten Menge nehmen und diejenigen ausschließen, die sie mit der zweiten gemeinsam hat. Zum Beispiel:

Wenn A = {a, b, c, d} und B = {a, k, m}, dann ist:

A \ B = {b, c, d}

Symmetrische Differenz von Mengen

Die symmetrische Differenz zweier Mengen A und B, bezeichnet als A Δ B, besteht aus allen Elementen, die zu einer der beiden Mengen gehören, aber nicht zu beiden. Anders ausgedrückt, ist es die Vereinigung von A \ B mit B \ A:

A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A)

Venn-Diagramm der symmetrischen Differenz von Mengen — Venn-Diagramm der symmetrischen Differenz

Um die symmetrische Differenz zweier Mengen zu berechnen, müssen wir zuerst ihre Differenzen berechnen und diese dann in einer einzigen Menge vereinigen. Zum Beispiel:

Gegeben seien A = {1, 4, 5} und B = {0, 4, 9}, wir berechnen:

A \ B = {1, 5}
B \ A = {0, 9}

Damit erhalten wir:

A Δ B = {1, 5, 0, 9}

Komplementärmenge

Die Grundmenge, symbolisiert als U, ist diejenige, die alle Elemente enthält, die für den jeweiligen Kontext relevant sind. Wenn wir zum Beispiel mit Buchstabenmengen wie A = {c, d, e} arbeiten, wäre die Grundmenge die Menge aller Buchstaben des Alphabets. Wenn wir mit Zahlenmengen arbeiten, wird normalerweise die Menge der reellen Zahlen als Grundmenge betrachtet, sofern nicht anders angegeben. Vor diesem Hintergrund wird Folgendes definiert:

Das Komplement einer Menge A ist die Menge, deren Elemente zur Grundmenge, aber nicht zu A gehören. Es wird als C_A, A', Ā oder A^c symbolisiert und als "Komplement von A" gelesen.

A^c = {x | x ∈ U ∧ x ∉ A}

Daraus können wir ableiten, dass A^c = U \ A

Um das Komplement einer Menge A zu berechnen, muss man zuerst die Grundmenge U kennen und dann alle Elemente von A daraus ausschließen. Zum Beispiel:

Sei die Grundmenge U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} und die Menge A = {1, 2, 3, 4}, dann ist das Komplement von A:

A^c = {5, 6, 7, 8, 9, 10}

Eigenschaften der Operationen

Im Folgenden sehen wir die wichtigsten Eigenschaften der Vereinigung, des Schnitts und des Komplements. Wenn A, B und C drei Mengen sind, U die Grundmenge und ϕ die leere Menge ist, gelten die folgenden Gesetze:

Eigenschaft	Symbolik
Idempotenz	A ∪ A = A A ∩ A = A
Assoziativität	(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Kommutativität	A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A
Distributivität	A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Neutrale Elemente	A ∪ ϕ = A A ∩ U = A
Absorbierende Elemente	A ∪ U = U A ∩ ϕ = ϕ
Komplementärgesetze	(A^c)^c = A A ∪ A^c = U A^c = ϕ A ∩ A^c = ϕ ϕ^c = U
De Morgansche Gesetze	(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c