Aussagenfunktion

Eine Aussagenfunktion ist ein Ausdruck, der eine oder mehrere Variablen enthält und zu einer logischen Aussage (d. h. eine Behauptung, die wahr oder falsch sein kann) wird, wenn seinen Variablen bestimmte Werte zugewiesen werden oder der Ausdruck quantifiziert wird.

Solche Ausdrücke werden auch als Aussagenschemata, offene Aussageformen oder offene Aussagen bezeichnet. Sie werden durch Großbuchstaben wie P, Q, R, S usw. symbolisiert, wobei die Variablen in Klammern stehen. Zum Beispiel:

• P(x): x > 3
• Q(y): y + 5 = 8
• R(x, y): x + 5 = y + 3
• S(x): „x ist eine gerade Zahl“
• T(z): „z hat schwarze Haare“

Diese Ausdrücke sind keine Aussagen, weil man nicht sagen kann, ob sie wahr oder falsch sind, da die Werte der Variablen x, y, z unbekannt sind. Wenn wir zum Beispiel den Ausdruck „P(x): x > 3“ nehmen und x den Wert 5 zuweisen, wird der Ausdruck zu „P(5): 5 > 3“, was eine Aussage ist und in diesem Fall wahr ist; wenn wir x = 0 setzen würden, erhielten wir „P(0): 0 > 3“, was eine falsche Aussage ist.

Wie man eine Aussagenfunktion in eine Aussage umwandelt

Es gibt zwei Möglichkeiten, eine Aussagenfunktion in eine Aussage umzuwandeln: durch Einsetzung und durch Quantifizierung.

Einsetzung

Die Einsetzung besteht darin, der Variable oder den Variablen der Aussagenfunktion einen bestimmten Wert zuzuweisen. Dadurch wird die Unbestimmtheit beseitigt und man erhält eine konkrete Aussage, die wahr oder falsch sein kann.

Die Menge aller möglichen Terme, die für die Einsetzung verwendet werden können, wird als Grundbereich U (auch Universum genannt) bezeichnet. Dieser Grundbereich ist die Menge aller Werte, die die Variablen annehmen können.

Beispiel

Gegeben sei die Aussagenfunktion: P(x): x > 0 mit dem Grundbereich: U = {1, 2, 3, -1, -2, -3}. Durch Einsetzen von x = 3 erhalten wir die Aussage 3 > 0, die wahr ist. Durch Einsetzen von x = -2 erhält man -2 > 0, was eine falsche Aussage ist.

Als Wahrheitsmenge wird die Menge aller Elemente des Grundbereichs bezeichnet, die die Aussage wahr machen, wenn sie für die Variable eingesetzt werden. Im obigen Beispiel ist die Wahrheitsmenge {1, 2, 3}, da die anderen Werte zu einer falschen Aussage führen.

Quantifizierung

Die Quantifizierung ist ein anderes Verfahren, bei dem den Variablen kein konkreter Wert zugewiesen wird, sondern ein Symbol, der sogenannte Quantor, vorangestellt wird. Der Quantor gibt an, wie die Aussagenfunktion in Bezug auf alle oder einige Elemente des Grundbereichs bewertet werden soll. Die gebräuchlichsten Quantoren sind der Allquantor und der Existenzquantor.

Einige Beispiele für Quantifizierung in der Alltagssprache sind: „Alle Argentinier sind Lateinamerikaner“, „Einige Studenten haben die Prüfung bestanden“.

1) Allquantor (∀): bedeutet „für alle“, „jeder“, „für jeden“, symbolisch schreibt man ∀x: P(x), was gelesen wird als „für alle x gilt P(x)“. Die quantifizierte Aussage ist wahr, wenn alle Werte des Grundbereichs die Eigenschaft erfüllen.

Beispiele

• ∀ x ∈ ℕ₀: x + 1 > x (für jede natürliche Zahl gilt, dass die Addition von 1 eine größere Zahl ergibt).
• ∀ x ∈ ℝ: x² ≥ 0 (das Quadrat jeder reellen Zahl ist größer oder gleich null).
• ∀ x ∈ ℤ: x + (-x) = 0 (die Summe einer ganzen Zahl und ihrer Gegenzahl ist null).
• ∀ x ∈ ℚ: 2x ∈ ℚ (das Doppelte einer rationalen Zahl ist wieder rational).

2) Existenzquantor (∃): bedeutet „es existiert mindestens ein“, symbolisch schreibt man ∃x: P(x), was gelesen wird als „es existiert ein x, für das P(x) gilt“. Die quantifizierte Aussage ist wahr, wenn mindestens ein Element des Grundbereichs die Eigenschaft erfüllt.

Beispiele

• ∃x ∈ ℤ: x² = 4 (es existiert eine ganze Zahl, deren Quadrat 4 ist).
• ∃x ∈ ℚ: x² = 2 (es existiert eine rationale Zahl, deren Quadrat 2 ist; diese Aussage ist falsch).
• ∃x ∈ ℝ: x < 0 (es existiert mindestens eine reelle Zahl, die negativ ist).
• ∃x ∈ ℕ₀: „x ist ein Vielfaches von 10“ (es existiert eine natürliche Zahl, die ein Vielfaches von 10 ist).

Sowohl der Allquantor als auch der Existenzquantor beziehen sich auf die Aussagenfunktion, die ihnen am nächsten steht, es sei denn, dies wird durch Klammern geändert. Zum Beispiel wird ∀x: P(x) ∨ Q(x) als [∀x: P(x)] ∨ Q(x) interpretiert. Wenn der Quantor sich auf beide Funktionen beziehen soll, müssen wir ∀x: [ P(x) ∨ Q(x) ] schreiben.

Negation von Quantoren

In der Prädikatenlogik wechselt ein Quantor seinen Typ, wenn eine quantifizierte Aussage negiert wird, und die innere Aussage wird ebenfalls negiert. Dies ist als die Regel zur Negation von Quantoren bekannt und ist fundamental, um logische Äquivalenzen umzuformen oder zu beweisen.

Die Regeln lauten wie folgt:

1) Die Negation eines Allquantors wird zu einem Existenzquantor: 

¬(∀x: P(x)) ≡ ∃x: ¬P(x)

Das heißt, „es ist nicht der Fall, dass für alle x P(x) gilt“ ist äquivalent zu „es existiert mindestens ein x, für das P(x) nicht gilt“.

2) Die Negation eines Existenzquantors wird zu einem Allquantor:

¬(∃x: P(x)) ≡ ∀x: ¬P(x)

Das heißt, „es existiert kein x, für das P(x) gilt“ ist äquivalent zu „für alle x gilt P(x) nicht“.

Beispiele

1) Sei P(x): x > 0, dann gilt:

¬(∀x: x > 0) ≡ ∃x: x ≤ 0

Das heißt, „nicht alle Zahlen sind positiv“ ist äquivalent zu „es existiert mindestens eine Zahl, die nicht positiv ist“

2) Sei Q(x): x² < 0, dann gilt:

¬(∃x ∈ ℝ: x² < 0) ≡ ∀x ∈ ℝ: x² ≥ 0

Das heißt, „es existiert keine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist“ ist äquivalent zu „das Quadrat aller reellen Zahlen ist nicht negativ“.