Vereinigung von Mengen

Die Vereinigung von Mengen ist eine Operation, die eine neue Menge erzeugt, die alle Elemente der ursprünglichen Mengen enthält, ohne die gemeinsamen Elemente zu wiederholen. Sie wird mit dem Symbol „∪“ dargestellt, das dem Buchstaben U ähnelt.

Venn-Diagramme ermöglichen es uns, diese Operation zu visualisieren. Obwohl Mengen auf unterschiedliche Weise zueinander in Beziehung stehen können, können wir die Vereinigung anhand von drei grundlegenden Situationen veranschaulichen.

Der grundlegende Unterschied zwischen der Vereinigung und der Schnittmenge liegt in den Elementen, die sie jeweils umfassen: Die Vereinigung zweier Mengen fasst alle Elemente zusammen, die zu mindestens einer der beiden Mengen gehören; die Schnittmenge hingegen beschränkt sich ausschließlich auf die gemeinsamen Elemente der beteiligten Mengen. 

Beispiele

Nachfolgend sehen wir einige Beispiele für die Vereinigung von Mengen. Es ist wichtig zu beachten, dass, wenn doppelte Elemente vorhanden sind, diese in der Vereinigung nur einmal aufgeführt werden.

Beispiel 1

Gegeben seien A = {1, 2, 3} und B = {3, 4, 5}, berechnen Sie ihre Vereinigung.

Lösung

Um die Vereinigung zweier Mengen zu bilden, kombinieren wir alle Elemente, die zu A oder zu B gehören. Wir stellen fest, dass das Element 3 in beiden Mengen vorhanden ist. In der Vereinigung werden jedoch doppelte Elemente nur einmal aufgeführt. Daher erhalten wir durch die Vereinigung von A und B die Menge:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

Beispiel 2

Bestimmen Sie die resultierende Menge aus der Vereinigung von A = {a, b, c, d, e} und B = {b, c, f, g, h}.

Lösung

Bei der Vereinigung dieser beiden Mengen führen wir alle ihre Elemente zusammen. Die Elemente 'b' und 'c' sind beiden gemeinsam, daher berücksichtigen wir sie nur einmal. Die Vereinigungsmenge lautet also wie folgt:

A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h}

Beispiel 3

Finden Sie die Vereinigung der Mengen C = {-1, -2, -3} und D = {1, 2, 3}.

Lösung

In diesem Fall haben die Mengen C und D kein gemeinsames Element; sie sind disjunkte Mengen. Die Vereinigung zweier disjunkter Mengen fasst einfach alle Elemente beider Mengen zusammen. Daher ist die Vereinigung:

C ∪ D = {-1, -2, -3} ∪ {1, 2, 3} = {-1, -2, -3, 1, 2, 3}

Beispiel 4

Finden Sie die Vereinigung der Mengen A, B und C, wobei A = {0, 1, 2, 3, 5}, B = {1, 3, 5, 7} und C = {2, 6, 8}.

Lösung

Um die Vereinigung von drei Mengen zu berechnen, können wir schrittweise vorgehen. Zuerst vereinigen wir A und B:

A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 5, 7}

Anschließend vereinigen wir dieses Ergebnis mit der Menge C:

(A ∪ B) ∪ C = {0, 1, 2, 3, 5, 7} ∪ {2, 6, 8}

Das Element 2 wiederholt sich, wird aber nur einmal gezählt. Die endgültige Vereinigungsmenge ist:

A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}

Hinweis: Die Reihenfolge der Vereinigung ist beliebig, wir hätten auch zuerst A mit C (oder B mit C) vereinigen können und das Ergebnis wäre dasselbe. Dies liegt an den Assoziativitäts- und Kommutativitätseigenschaften dieser Operation.

Beispiel 5

Lösen Sie die Vereinigung der drei Mengen J, K und L, wobei J = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, K = {1, 3, 5, 7} und L = {2, 4, 6, 8}.

Lösung

Wir beginnen mit der Vereinigung von J und K:

J ∪ K = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Dann vereinigen wir diese neue Menge mit L:

(J ∪ K) ∪ L = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ∪ {2, 4, 6, 8}

Die Elemente 2, 4 und 6 waren bereits vorhanden, sodass die endgültige Vereinigungsmenge der drei Mengen lautet:

J ∪ K ∪ L = (J ∪ K) ∪ L = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Beispiel 6

Lösen Sie die Vereinigung von A, B, C und D, wobei A = {1, 2}, B = {1}, C = {4, 5} und D = {-1, 0}.

Lösung

Wir beginnen damit, A mit der Einermenge B zu vereinigen:

A ∪ B = {1, 2} ∪ {1} = {1, 2}

Dann vereinigen wir dieses Ergebnis mit C:

(A ∪ B) ∪ C = {1, 2} ∪ {4, 5} = {1, 2, 4, 5}

Schließlich vereinigen wir die vorherige Menge mit D, um die Vereinigung von vier Mengen zu erhalten:

((A ∪ B) ∪ C) ∪ D = {1, 2, 4, 5} ∪ {-1, 0}

Da es keine doppelten Elemente zwischen diesen Mengen gibt, ist das Endergebnis die Zusammenfassung aller Elemente:

A ∪ B ∪ C ∪ D = {-1, 0, 1, 2, 4, 5}

Beispiel 7

Finden Sie die Vereinigung der Mengen S = {x ∈ ℕ | x < 10} und T = {x ∈ ℕ | 2x ≤ 20}.

Lösung

Die Mengen sind in beschreibender Form gegeben, es ist nützlich, beide in aufzählender Form darzustellen, um ihre Elemente zu visualisieren. Die Menge S enthält die natürlichen Zahlen, die kleiner als 10 sind:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Die Menge T umfasst die natürlichen Zahlen, für die 2x ≤ 20 gilt, d.h. x ≤ 10, also T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Wir sehen, dass T ein Element mehr hat als S, die „10“. Die Vereinigung ergibt:

S ∪ T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Beispiel 8

Seien P die Menge der geraden natürlichen Zahlen und I die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen. Finden Sie P ∪ I.

Lösung

Die Menge P enthält alle geraden Zahlen: P = {2, 4, 6, …}; und die Menge I alle ungeraden Zahlen: I = {1, 3, 5, 7, …}. Es gibt keine natürliche Zahl, die gleichzeitig gerade und ungerade ist, daher sind sie disjunkte Mengen. Ihre Vereinigung umfasst also alle natürlichen Zahlen. Daher ist P ∪ I gleich der Menge der natürlichen Zahlen, ℕ.

Eigenschaften

Die Vereinigungsoperation in der Mengenlehre erfüllt eine Reihe von grundlegenden Eigenschaften, die uns helfen, ihre Berechnung zu vereinfachen. Nachfolgend betrachten wir die wichtigsten.

1) Kommutativgesetz: Die Reihenfolge, in der die Mengen vereinigt werden, ändert das Ergebnis nicht.

A ∪ B = B ∪ A

2) Assoziativgesetz: Die Art und Weise, wie die Mengen zur Durchführung der Vereinigung gruppiert werden, beeinflusst das Endergebnis nicht.

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

3) Idempotenz: Die Vereinigung einer Menge mit sich selbst ist dieselbe Menge.

A ∪ A = A

4) Eigenschaft der Identität (oder neutrales Element): Die Vereinigung einer beliebigen Menge mit der leeren Menge ergibt die ursprüngliche Menge.

A ∪ ∅ = A

5) Dominanzgesetz: Die Vereinigung einer beliebigen Menge mit der Grundmenge ist die Grundmenge.

A ∪ U = U

6) Distributivität bezüglich des Schnitts: Die Vereinigung einer Menge mit dem Schnitt zweier anderer Mengen ist gleich dem Schnitt der Vereinigungen der ersten Menge mit jeder der beiden anderen.

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

7) De Morgan'sches Gesetz: Das Komplement der Vereinigung von Mengen ist gleich dem Schnitt ihrer Komplemente.

(A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ

8) Kardinalität: Die Anzahl der Elemente der Vereinigung zweier endlicher Mengen ist die Summe ihrer Elemente abzüglich der Anzahl der gemeinsamen Elemente (ihres Schnitts).

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

9) Eigenschaften im Zusammenhang mit Teilmengen:

• Wenn zwei Mengen Teilmengen einer dritten Menge sind, ist auch ihre Vereinigung eine Teilmenge davon: Wenn A ⊆ C und B ⊆ C, dann gilt A ∪ B ⊆ C.
• Wenn eine Menge eine Teilmenge einer anderen ist, ist die Vereinigung beider gleich der umfassenderen Menge: Wenn A ⊆ B, dann gilt A ∪ B = B.
• Wenn eine Menge in zwei Mengen gleichzeitig enthalten ist, dann ist sie auch in deren Vereinigung enthalten: Wenn X ⊆ A und X ⊆ B, dann gilt X ⊆ A ∪ B.