Logische Äquivalenzen

Daniel Machado · Aktualisiert am 16/11/2025

In der Aussagenlogik sind zwei Ausdrücke logisch äquivalent, wenn sie für alle Kombinationen von Wahrheitswerten ihrer Variablen identische Wahrheitstabellen besitzen. Das bedeutet, dass sie dasselbe aussagen, nur auf unterschiedliche Weise. In der Praxis können wir einen Ausdruck durch einen anderen in jeder Formel ersetzen, ohne deren Gültigkeit zu verändern. Die Äquivalenzbeziehung wird mit dem Symbol ≡ dargestellt.

Das grundlegende Werkzeug zum Nachweis von Äquivalenz ist die Bikonditional (↔). Wenn A und B zwei Aussagenformeln sind und die Aussage A ↔ B eine Tautologie ist (sie ist immer wahr), dann sind A und B logisch äquivalent, was wir als A ≡ B bezeichnen. Um zu beweisen, dass zwei Aussagen äquivalent sind, können wir ihre Wahrheitstabellen erstellen; wenn die letzte Spalte der Ergebnisse für beide identisch ist, sind sie logisch äquivalent.

Inhaltsverzeichnis

Liste logischer Äquivalenzen

Nachfolgend betrachten wir die wichtigsten Äquivalenzen der mathematischen Logik.

Grundlegende Äquivalenzen

In den folgenden Eigenschaften ist W eine Tautologie (eine immer wahre Aussage), während F eine Kontradiktion (eine immer falsche Aussage) ist.

Name	Formel	Beschreibung
Identitätsgesetze	p ≡ p p → p p ∧ W ≡ p p ∨ F ≡ p	Jede Aussage ist mit sich selbst identisch. Wenn eine Aussage wahr ist, dann ist sie wahr, und wenn sie falsch ist, dann ist sie falsch.
Satz vom Widerspruch	¬ (p ∧ ¬p)	Eine Aussage kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.
Satz vom ausgeschlossenen Dritten	p ∨ ¬p	Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch; eine dritte Möglichkeit gibt es nicht.
Doppelte Negation	¬(¬p) ≡ p	Zu behaupten, dass etwas nicht falsch ist, ist dasselbe wie zu behaupten, dass es wahr ist.
Idempotenzgesetze	p ∨ p ≡ p p ∧ p ≡ p	Die Wiederholung derselben Aussage mit „und“ oder „oder“ fügt keine neue Information hinzu.
Dominanzgesetze	p ∨ W ≡ W p ∧ F ≡ F	Die Disjunktion einer Aussage mit einer Tautologie ist immer wahr. Die Konjunktion einer Aussage mit einer Kontradiktion ist immer falsch.
Kommutativgesetze	p ∨ q ≡ q ∨ p p ∧ q ≡ q ∧ p	Die Reihenfolge der Aussagen in einer Konjunktion oder Disjunktion ändert das Ergebnis nicht.
Assoziativgesetze	(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)	Wenn wir denselben Junktor (Konjunktion oder Disjunktion) haben, spielt die Art der Gruppierung keine Rolle.
Distributivgesetze	p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)	Konjunktion und Disjunktion können, ähnlich wie in der Algebra, übereinander distribuiert werden.
Absorptionsgesetze	p ∨ (p ∧ q) ≡ p p ∧ (p ∨ q) ≡ p	Die Disjunktion einer Aussage mit einer Konjunktion, in der sie selbst vorkommt, ist äquivalent zur ursprünglichen Aussage. Dasselbe gilt, wenn die Symbole vertauscht werden.

Wir beweisen, dass die Aussage ¬(¬p) äquivalent zu p ist. Dazu erstellen wir die Wahrheitstabelle:

p	¬p	¬(¬p)
W	F	W
F	W	F

Die Werte der ersten Spalte p stimmen in jeder Zeile mit denen von ¬(¬p) überein, daher können wir feststellen, dass es sich um äquivalente Aussagen handelt, und schreiben ¬(¬p) ≡ p.

Auf die gleiche Weise können wir vorgehen, wenn mehr Variablen vorhanden sind. Beweisen wir die Kommutativität der Disjunktion: p ∨ q ≡ q ∨ p:

p	q	p ∨ q	q ∨ p
W	W	W	W
W	F	W	W
F	W	W	W
F	F	F	F

Wir können sehen, dass die Spalten p ∨ q und q ∨ p genau gleich sind, daher kann man mit Sicherheit sagen, dass es sich um äquivalente Ausdrücke handelt.

De Morgansche Gesetze

Name	Formel	Beschreibung
Negation der Konjunktion	¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q	Die Negation der Konjunktion ist äquivalent zur Disjunktion der Negationen.
Negation der Disjunktion	¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q	Die Negation der Disjunktion ist äquivalent zur Konjunktion der Negationen.

Gesetze des Konditionals und des Bikonditionals

Name	Formel	Beschreibung
Definition des Konditionals	p → q ≡ ¬p ∨ q	Ein Konditional ist äquivalent zur Disjunktion aus der Negation des Antezedens und dem Konsequens.
Negation des Konditionals	¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q	Die Negation eines Konditionals ist äquivalent zur Konjunktion des Antezedens und der Negation des Konsequens.
Kontraposition des Konditionals	p → q ≡ ¬q → ¬p	Eine Implikation ist äquivalent zu ihrer Kontraposition.
Expansionsgesetze	(p → q) ≡ (p ∨ q) ↔ q (p → q) ≡ (p ∧ q) ↔ p	Ein Konditional kann als Bikonditional zwischen der Konjunktion (oder Disjunktion) seiner Komponenten und dem Konsequens (oder dem Antezedens) ausgedrückt werden.
Definition des Bikonditionals	p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)	Das Bikonditional ist äquivalent zur Konjunktion zweier Konditionale: eines in Hin- und eines in Rückrichtung.
Negation des Bikonditionals	¬(p ↔ q) ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)	Ein Bikonditional zu negieren ist dasselbe wie zu behaupten, dass eine Aussage wahr und die andere falsch ist oder umgekehrt.
Kontraposition des Bikonditionals	(p ↔ q) ≡ (¬q ↔ ¬p)	Das Bikonditional zweier Aussagen ist äquivalent zum Bikonditional ihrer Negationen.

Anwendung bei der Vereinfachung von Aussagen

Die wahre Stärke der logischen Äquivalenzen zeigt sich bei der Vereinfachung komplexer Aussagen. Eine Äquivalenz wie p ∧ q ≡ q ∧ p besagt, dass wir in jedem Ausdruck, in dem p ∧ q vorkommt, dieses direkt durch q ∧ p ersetzen können, ohne die Gesamtbedeutung zu verändern. Dieser systematische Prozess der Substitution ermöglicht es, lange und komplizierte Formeln auf einfachere und handlichere zu reduzieren.

Übung: Vereinfachen Sie die folgenden aussagenlogischen Ausdrücke unter Verwendung logischer Äquivalenzen.

¬(p ∨ q) ∨ (¬p ∧ q)
(p → q) ∧ (p ∨ q)
¬p → (q → p)
(p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q)
¬(p → q) ∨ (¬p ∧ ¬q)

Lösung 1

Ursprünglicher Ausdruck: ¬(p ∨ q) ∨ (¬p ∧ q)

Wir werden diesen Ausdruck vereinfachen. Wir beginnen mit der Anwendung des De Morganschen Gesetzes, um dann zu distribuieren und Terme zu finden, die sich aufheben.

¬(p ∨ q) ∨ (¬p ∧ q) (Ursprünglicher Ausdruck)

(¬p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) (De Morgansches Gesetz auf ¬(p ∨ q))

¬p ∧ (¬q ∨ q) (Umgekehrtes Distributivgesetz, ¬p ausklammern)

¬p ∧ W (Satz vom ausgeschlossenen Dritten: ¬q ∨ q ist eine Tautologie, W)

¬p (Identitätsgesetz)

Die Aussage vereinfacht sich zu ¬p.

Lösung 2

Ursprünglicher Ausdruck: (p → q) ∧ (p ∨ q)

Wir beginnen damit, das Konditional (→) in seine äquivalente Form mit Disjunktion umzuwandeln.

(p → q) ∧ (p ∨ q) (Ursprünglicher Ausdruck)

(¬p ∨ q) ∧ (p ∨ q) (Definition des Konditionals)

(q ∨ ¬p) ∧ (q ∨ p) (Kommutativgesetz in beiden Klammern)

q ∨ (¬p ∧ p) (Umgekehrtes Distributivgesetz, q ausklammern)

q ∨ F (weil ¬p ∧ p eine Kontradiktion ist, F)

q (Identitätsgesetz)

Die Aussage vereinfacht sich zu q.

Lösung 3

Ursprünglicher Ausdruck: ¬p → (q → p)

Wir werden alle Konditionale umwandeln, um nur mit Konjunktionen und Disjunktionen zu arbeiten. Anschließend vereinfachen wir unter Verwendung der Komplementärgesetze.

¬p → (q → p) (Ursprünglicher Ausdruck)

¬(¬p) ∨ (q → p) (Definition der Implikation)

p ∨ (q → p) (Doppelte Negation)

p ∨ (¬q ∨ p) (Definition der Implikation)

p ∨ (p ∨ ¬q) (Kommutativgesetz)

(p ∨ p) ∨ ¬q (Assoziativgesetz)

p ∨ ¬q (Idempotenzgesetz)

Lösung 4

Ursprünglicher Ausdruck: (p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q)

Dies ist ein klarer Fall, in dem wir das Distributivgesetz „rückwärts“ anwenden können, um die gemeinsame Variable auszuklammern und zu vereinfachen.

(p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q) (Ursprünglicher Ausdruck)

p ∧ (¬q ∨ q) (Distributivgesetz, p ausklammern)