Ganze Zahlen

Die ganzen Zahlen sind die Elemente der Menge, die die natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...), die Gegenzahlen der natürlichen Zahlen (-1, -2, -3, ...) und die Null (0) umfasst.

Die Gegenzahlen der natürlichen Zahlen werden als negative ganze Zahlen bezeichnet und durch ein vorangestelltes Minuszeichen (-) gekennzeichnet, das gelesen werden muss; zum Beispiel wird -10 als „minus zehn“ gelesen. Die natürlichen Zahlen werden als positive ganze Zahlen bezeichnet und können durch ein vorangestelltes Pluszeichen (+) gekennzeichnet werden; wird jedoch kein Zeichen vorangestellt, wird angenommen, dass die Zahl positiv ist. Die Null ist weder positiv noch negativ, sondern neutral.

Einige Beispiele für ganze Zahlen sind: -40, 2, 0, 27, -34, 18, -245, 5, -9, 14. Bruchzahlen wie 1/2 oder reelle Zahlen wie π sind keine ganzen Zahlen.

Wozu dienen die ganzen Zahlen?

Das Konzept der ganzen Zahlen entstand aus der Notwendigkeit, Größen darzustellen, die nicht mit natürlichen Zahlen ausgedrückt werden können, wie die Abwesenheit von Objekten oder Werte unter null. Auf diese Weise wird der Nutzen von Zahlen über das bloße Zählen von Dingen hinaus erweitert.

Einige Beispiele für ihre Anwendung im Alltag sind:

• Temperaturen: Ganze Zahlen werden häufig zur Darstellung von Temperaturen verwendet. Zum Beispiel steht 5°C für eine positive Temperatur über dem Gefrierpunkt, während -5°C eine kältere Temperatur unter 0°C darstellt, also negativ ist.
• Kontostand: Ein positiver Saldo zeigt an, dass Geld auf dem Konto ist, zum Beispiel 100 €. Ein negativer Saldo hingegen weist auf Schulden hin, zum Beispiel bedeutet -50 €, dass man der Bank 50 € schuldet.
• Gewinne und Verluste: Wenn ein Unternehmen einen Gewinn von 1000 € erzielt, wird dies durch die positive ganze Zahl +1000 oder einfach 1000 dargestellt; erleidet es hingegen einen Verlust von 500 €, wird dies durch die negative ganze Zahl -500 ausgedrückt.
• Höhenangaben: Ganze Zahlen werden verwendet, um Höhenangaben relativ zum Meeresspiegel darzustellen. Der Aconcagua ist beispielsweise der höchste Berg Südamerikas und seine Höhe beträgt etwa 6960 Meter über dem Meeresspiegel. Das Tote Meer, zwischen Israel und Jordanien gelegen, befindet sich 430 Meter unter dem Meeresspiegel, was durch die negative ganze Zahl -430 Meter dargestellt werden kann.

Aus mathematischer Sicht ermöglichen die ganzen Zahlen die Durchführung von Subtraktionen, bei denen der Minuend kleiner als der Subtrahend ist, d. h. die Operation *a-b*, bei der *a* kleiner als *b* ist, zum Beispiel: *5-10=-5*. Dies war mit natürlichen Zahlen nicht möglich.

Die Menge der ganzen Zahlen

Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl, was als *\mathbb{N}⊆\mathbb{Z}* symbolisiert wird. Jede ganze Zahl ist rational und reell, aber nicht alle rationalen und reellen Zahlen sind ganze Zahlen. Zum Beispiel sind die Zahlen *2/3,* *-7/2,* *\sqrt{2}* und *\pi* keine ganzen Zahlen.

Es gibt zwei übliche Arten, eine Klassifizierung der ganzen Zahlen vorzunehmen:

• Positive, negative und die Null: Positive ganze Zahlen sind größer als null, zum Beispiel: 1, 7, 24, 5, 30, usw. Negative ganze Zahlen sind kleiner als null, zum Beispiel: -1, -30, -17, -12, -75, usw. Die Null ist die ganze Zahl, die weder positiv noch negativ ist.
• Gerade und ungerade: Wenn eine ganze Zahl exakt durch 2 geteilt werden kann, d. h. einen Rest von null ergibt, wird sie als gerade ganze Zahl bezeichnet, zum Beispiel: -4, -2, 0, 2, 4, 6, usw. Wenn die Division nicht exakt ist, wird die Zahl als ungerade ganze Zahl bezeichnet, zum Beispiel: -3, -1, 1, 3, 5, usw.

Die Menge der positiven ganzen Zahlen wird durch den Buchstaben Z mit einem hochgestellten „+“ dargestellt. Diese Menge ist identisch mit der der natürlichen Zahlen, *\mathbb{N}.*

*\mathbb{Z}^+=\{1,2,3,4,5,6,...\}*

Die Menge der negativen ganzen Zahlen wird durch den Buchstaben Z mit einem hochgestellten „-“ dargestellt:

*\mathbb{Z}^-=\{-1,-2,-3,-4,-5,-6,...\}*

In jede dieser beiden Teilmengen kann die Null durch den tiefgestellten Index „0“ einbezogen werden, sodass man *\mathbb{Z}^+_0~* und *~\mathbb{Z}^-_0* erhält.

Eigenschaften und Merkmale

Die Menge der ganzen Zahlen erfüllt die folgenden Eigenschaften:

• Sie ist geordnet und unendlich, was bedeutet, dass man immer neue ganze Zahlen finden und zwei verschiedene vergleichen kann, um festzustellen, welche kleiner oder größer ist.
• Sie hat weder ein erstes noch ein letztes Element, d. h. es gibt keine ganze Zahl, die kleiner als alle anderen ist, noch eine, die die größte ist. Dies unterscheidet sie von der Menge der natürlichen Zahlen, die ein erstes Element hat, die Zahl 1.
• Jede ganze Zahl hat einen Nachfolger und einen Vorgänger. Eine ganze Zahl und ihr Nachfolger werden als aufeinanderfolgend bezeichnet. Der Nachfolger einer ganzen Zahl kann durch Addition von 1 ermittelt werden, und ihr Vorgänger durch Subtraktion von 1. Zum Beispiel hat die ganze Zahl -5 den Nachfolger -4 und den Vorgänger -6.
• Zwischen zwei ganzen Zahlen gibt es immer eine endliche Anzahl von ganzen Zahlen. Deshalb wird sie als diskrete Menge bezeichnet, die nicht dicht ist. Zwischen einer ganzen Zahl und ihrem Nachfolger gibt es keine weitere ganze Zahl.

Grafische Darstellung

Wir können die ganzen Zahlen auf einer Zahlengerade darstellen. Dazu wird die Null an einem Punkt platziert, rechts davon werden die positiven ganzen Zahlen in gleichem Abstand zueinander angeordnet, und links von der Null die negativen ganzen Zahlen.

Die ganzen Zahlen werden größer, je weiter wir uns nach rechts bewegen, und kleiner, je weiter wir uns nach links bewegen. Positive ganze Zahlen sind umso größer, je weiter sie von der Null entfernt sind, während negative ganze Zahlen umso größer sind, je näher sie an der Null liegen.

Eine ganze Zahl ist größer als eine andere, wenn sie sich auf der Zahlengerade rechts von ihr befindet. Zum Beispiel ist *3* größer als *-4,* symbolisch *3>-4,* weil *3* rechts von *-4* liegt.

Der Betrag einer ganzen Zahl wird als ihr Abstand zur Null auf der Zahlengerade definiert und durch zwei vertikale Striche um die Zahl symbolisiert. Der Betrag kann wie folgt berechnet werden:

• Wenn die ganze Zahl positiv oder null ist, ist ihr Betrag die Zahl selbst.
• Wenn die ganze Zahl negativ ist, ist ihr Betrag ihre Gegenzahl.

Zum Beispiel: *|0|=0,* *~~|5|=5,* *~~|-7|=7.*

Rechenoperationen

Die grundlegenden Rechenoperationen mit ganzen Zahlen sind Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Wir werden im Folgenden sehen, wie man sie durchführt und welche Eigenschaften sie haben.

Addition (Summe)

Um die Summe zweier ganzer Zahlen zu bilden, müssen wir auf ihre Vorzeichen achten:

Gleiches Vorzeichen: Wenn beide ganzen Zahlen dasselbe Vorzeichen (positiv oder negativ) haben, ist das Ergebnis eine weitere ganze Zahl mit demselben Vorzeichen, deren Betrag der Summe der Beträge der ursprünglichen Zahlen entspricht. Zum Beispiel:

*2+3=5*

*-4+(-2)=-6*

Unterschiedliches Vorzeichen: Wenn die ganzen Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben, erhält man das Ergebnis, indem man vom Betrag der größeren Zahl den Betrag der kleineren Zahl subtrahiert. Das Vorzeichen des Ergebnisses ist dasselbe wie das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag.

*8+(-9)=-1*

*-6+9=3*

Subtraktion (Differenz)

Wenn *a* und *b* zwei ganze Zahlen sind, wird die Subtraktion von *a* minus *b* als *a-b* dargestellt; *a* ist der Minuend und *b* ist der Subtrahend. Die Subtraktion kann als die Addition des Minuenden mit dem entgegengesetzten Vorzeichen des Subtrahenden betrachtet werden. So wird die Subtraktion *a-b* durch die Berechnung von *a+(-b)* gelöst, wobei die gerade besprochenen Additionsregeln angewendet werden.

*4-3=4+(-3)=1*

*-5-(-3)=-5+3=-2*

*10-(-5)=10+5=15*

Multiplikation

Die Multiplikation von ganzen Zahlen folgt den üblichen Multiplikationsregeln. Das Produkt zweier ganzer Zahlen hat ein positives Vorzeichen, wenn beide Zahlen dasselbe Vorzeichen haben, und ein negatives Vorzeichen, wenn die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben. Dies ist als Vorzeichenregel bekannt.

*7\cdot 2=14*

*(-7)\cdot 2=-14*

*3\cdot (-2)=-6*

*(-2)\cdot (-4)=8*

Division

Die Division ist eine mathematische Operation, die uns sagt, wie oft eine Zahl (der Divisor) in einer anderen Zahl (dem Dividenden) enthalten ist. Das Ergebnis der Division wird Quotient genannt.

Bei der Arbeit mit ganzen Zahlen kann es vorkommen, dass das Ergebnis einer Division keine ganze Zahl ist. Damit das Ergebnis eine ganze Zahl ist, muss der Dividend ein Vielfaches des Divisors sein. Wenn dies der Fall ist, geht die Division auf.

Es gilt die gleiche Vorzeichenregel wie bei der Multiplikation: Wenn Dividend und Divisor dasselbe Vorzeichen haben, ist das Ergebnis positiv; haben sie unterschiedliche Vorzeichen, ist das Ergebnis negativ. Zum Beispiel:

*10÷2=5*

*6÷(-3)=-2*

*-8÷2=-4*

*-12÷(-6)=2*

Grenzen der ganzen Zahlen

Die ganzen Zahlen lösen zwar das Problem der Subtraktion, das bei den natürlichen Zahlen auftrat, reichen aber für bestimmte Situationen im Zusammenhang mit der Division immer noch nicht aus:

• Die exakte Division zweier ganzer Zahlen kann nicht durchgeführt werden, wenn der Dividend kein Vielfaches des Divisors ist, da das Ergebnis keine ganze Zahl ist. Zum Beispiel haben die Divisionen *4÷3~* und *~7÷5* keine Lösung in den ganzen Zahlen.
• Ganze Zahlen können nicht verwendet werden, um Mengen wie eine halbe Schokolade, ein Drittel einer Pizza oder einen halben Meter darzustellen.

Aus einer anderen Perspektive lassen sich Gleichungen wie *2x=3* nicht lösen, da es keine ganze Zahl *x* gibt, die diese Gleichung erfüllt. Um dies zu überwinden, werden andere Arten von Zahlen eingeführt: die rationalen Zahlen und später die reellen Zahlen.