Inklusive Disjunktion

Die Disjunktion, auch als inklusive oder schwache Disjunktion bekannt, ist ein logischer Junktor, der zwei einfache Aussagen zu einer zusammengesetzten Aussage verbindet. Diese ist wahr, wenn mindestens eine der einfachen Aussagen wahr ist, und falsch, wenn beide falsch sind. Die Disjunktion wird mit dem Symbol ∨ dargestellt und als „oder“ gelesen. 

Dieser Junktor repräsentiert das alltägliche Konzept von „oder“ in seiner breitesten und inklusiven Bedeutung. Im Gegensatz zum exklusiven „oder“, das wir manchmal in der Alltagssprache verwenden (wie in „entweder du kommst oder du bleibst“), schließt die logische Disjunktion ∨ die Möglichkeit nicht aus, dass beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind.

Betrachten wir einige Beispiele, um die inklusive Disjunktion zu verstehen:

1. „Um den Kurs zu bestehen, muss der Student das Abschlussprojekt abgeben oder die Nachholprüfung schreiben.“ In dieser Aussage sehen wir, wie das inklusive „oder“ wirkt, denn wenn ein Student nur das Projekt abgibt, besteht er. Wenn er nur die Prüfung schreibt, besteht er. Und wenn er beides tut, besteht er ebenfalls. 
2. „Um zur Veranstaltung zu gelangen, benötigst du eine Einladung oder musst Mitglied im Club sein.“ Die Erfüllung nur einer Bedingung (eine Einladung zu haben oder Mitglied zu sein) ist ausreichend, um Einlass zu erhalten. Wenn eine Person beide Bedingungen erfüllt, ist sie ebenfalls berechtigt.
3. Wenn p „es ist warm“ und q „es ist feucht“ ist, dann bedeutet p ∨ q „es ist warm oder es ist feucht“, wobei diese Aussage wahr ist, wenn das eine oder das andere Phänomen auftritt, oder beide.
4. Wenn p „2 ist eine gerade Zahl“ (wahr) und q „2 ist eine Primzahl“ (wahr) ist, dann ist p ∨ q: „2 ist eine gerade Zahl oder ist eine Primzahl“ wahr, da beide Teilaussagen wahr sind.

Eine praktische Methode, es von anderen Junktoren zu unterscheiden, besteht darin, sich zu merken, dass das Symbol ∨ einem „V“ ähnelt (von „vel“, dem lateinischen Wort für „oder“), mit der Spitze nach unten. Es sollte nicht mit dem Symbol der Konjunktion ∧ („und“) verwechselt werden, dessen Spitze nach oben zeigt.

Es gibt eine andere Art der Disjunktion, die als exklusive Disjunktion, starke Disjunktion oder symmetrische Differenz bezeichnet wird. Ihr Symbol ist ⊕ und sie unterscheidet sich von der inklusiven, da sie nur dann wahr ist, wenn genau eine der sie bildenden Aussagen wahr ist, und falsch, wenn beide wahr oder beide falsch sind. In diesem Artikel behandeln wir nur die erste Art der Disjunktion, die inklusive.

Wahrheitstafel

Wie bereits erwähnt, ist die Disjunktion wahr, wenn mindestens eine der sie bildenden Aussagen wahr ist (oder beide es sind), und falsch, wenn beide falsch sind. Dieses Verhalten lässt sich am besten mit einer Wahrheitstafel veranschaulichen:

p	q	p ∨ q
W	W	W
W	F	W
F	W	W
F	F	F

Zum Beispiel ist die zusammengesetzte Aussage „es ist warm oder es ist feucht, oder beides“ wahr, wenn es wahr ist, dass es warm ist, dass es feucht ist oder beides gleichzeitig der Fall ist; sie ist falsch, wenn keiner der beiden Teile zutrifft. Die Aussage „2 ist eine gerade Zahl oder eine Primzahl“ ist wahr, weil beide Teilaussagen zutreffen: 2 ist gerade und auch eine Primzahl. 

Der Ausdruck „ein Dreieck hat drei Seiten oder ein Quadrat hat sieben“ ist wahr, weil Dreiecke tatsächlich drei Seiten haben, auch wenn Quadrate keine sieben haben. Da eine der Komponenten wahr ist, ist die Disjunktion wahr. Im Gegensatz dazu ist die Aussage „2+2=5 oder 2+2=9“ eine falsche Disjunktion, weil weder 2+2=5 noch 2+2=9 wahr ist.

Eigenschaften

Die inklusive Disjunktion erfüllt eine Reihe von Eigenschaften, die für die Handhabung und Vereinfachung von aussagenlogischen Formeln wesentlich sind. Wir sehen sie uns im Folgenden an.

1) Kommutativität: Die Reihenfolge der Aussagen beeinflusst den Wahrheitswert der Disjunktion nicht. 

p ∨ q ≡ q ∨ p

2) Assoziativität: Die Gruppierung der Aussagen beeinflusst den Wahrheitswert der Disjunktion nicht. 

(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)

3) Idempotenz: Eine Aussage mit sich selbst zu verknüpfen, liefert keine neue Information; das Ergebnis ist logisch äquivalent zur ursprünglichen Aussage.

(p ∨ p) ≡ p

4) Distributivität: Die Disjunktion ist distributiv über die Konjunktion und umgekehrt. 

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

5) Identitätselement oder neutrales Element: Verknüpft man eine beliebige Aussage mit einer Kontradiktion (einer immer falschen Aussage, F), ist das Ergebnis äquivalent zur ursprünglichen Aussage. Die Falschheit trägt nicht zur Wahrheit der Disjunktion bei.

(p ∨ F) ≡ p

6) Dominantes oder absorbierendes Element: Verknüpft man eine beliebige Aussage mit einer Tautologie (einer immer wahren Aussage, W), ist das Ergebnis immer wahr, unabhängig vom Wahrheitswert von p. Die Tautologie „dominiert“ die Operation.

(p ∨ W) ≡ W

7) Komplementarität (Satz vom ausgeschlossenen Dritten): Verknüpft man eine Aussage mit ihrer Negation, ist das Ergebnis eine Tautologie (immer wahr).

(p ∨ ¬p) ≡ W

8) Negation der Disjunktion (De Morgansches Gesetz): Die Negation einer Disjunktion ist äquivalent zur Konjunktion der Negationen.

¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

9) Absorption: Dieses Gesetz zeigt, wie eine Disjunktion „absorbiert“ oder vereinfacht werden kann, wenn eine ihrer Komponenten mit einer Konjunktion interagiert.

p ∨ (p ∧ q) ≡ p

10) Disjunktionseliminierung (disjunktiver Syllogismus): Dies ist eine Schlussregel, die es uns ermöglicht, aus einer Disjunktion und der Negation einer ihrer Komponenten eine Schlussfolgerung abzuleiten.

[(p ∨ q) ∧ ¬p] → q

[(p ∨ q) ∧ ¬q] → p

Disjunktion in der Mengenlehre

In der Mengenlehre findet die inklusive Disjunktion ihr direktes Äquivalent in der Vereinigung von Mengen: einer Operation, die zwei oder mehr Mengen zu einer neuen Menge kombiniert, die alle Elemente enthält, die zu einer der ursprünglichen Mengen gehören.

Sehen wir uns einige konkrete Beispiele für diese Operation an:

• Gegeben die Mengen A = {1, 3, 5} und B = {2, 3, 4}, ist ihre Vereinigung A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}. Wir stellen fest, dass das Element 3, das zu beiden Mengen gehört, im Ergebnis nur einmal erscheint, da eine Menge keine doppelten Elemente zulässt.
• Wenn wir C als die Menge der Vokale {a, e, i, o, u} und D als die ersten Buchstaben des Alphabets {a, b, c} definieren, ergibt die Vereinigung C ∪ D {a, b, c, e, i, o, u}.
• Betrachten wir die Menge der positiven geraden Zahlen P = {2, 4, 6, ...} und die Menge der positiven ungeraden Zahlen I = {1, 3, 5, ...}. Ihre Vereinigung P ∪ I ist gleich der Menge aller positiven natürlichen Zahlen. Dies zeigt, dass zwei disjunkte Mengen (ohne gemeinsame Elemente) zu einer einzigen Menge vereinigt werden können.

Die Vereinigung von Mengen erfüllt, genau wie ihr logisches Gegenstück, eine Reihe von fundamentalen Eigenschaften:

• Kommutativität: A ∪ B = B ∪ A.
• Assoziativität: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
• Distributivität über den Durchschnitt: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
• Idempotenz: A ∪ A = A.
• Identitätselement: A ∪ ∅ = A (∅ ist die leere Menge).
• Dominantes Element: A ∪ U = U (U ist die Grundmenge).
• Komplementgesetz: A ∪ Aᶜ = U (Aᶜ ist das Komplement von A).

Disjunktion in einer Logikschaltung

Im Bereich der digitalen Elektronik und der Computerarchitektur wird die inklusive Disjunktion physisch in einem grundlegenden Bauteil realisiert: dem ODER-Gatter. Dieses Gatter empfängt ein oder mehrere Eingangssignale (in der Regel zwei) und erzeugt ein einziges Ausgangssignal. 

Seine Funktionsweise basiert auf einem einfachen Prinzip: Der Ausgang ist 1 (wahr oder „High“), wenn mindestens einer seiner Eingänge 1 ist. Wenn alle Eingänge 0 sind (falsch oder „Low“), ist der Ausgang 0. Dieses Verhalten wird in einer Wahrheitstafel dargestellt:

Eingang A	Eingang B	Ausgang (A ODER B)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

In den meisten Programmiersprachen wird die inklusive Disjunktion durch den Operator || dargestellt (wie in C, Java, JavaScript). Zum Beispiel wird in einer Bedingung wie if (esRegnet || istKalt) der Codeblock ausgeführt, wenn mindestens eines der beiden Ereignisse eintritt oder beide. Einige Sprachen, wie Python oder SQL, verwenden ebenfalls das Wort OR.