Logisches Bikonditional

Das Bikonditional, auch bekannt als Äquivalenz oder Bisubjunktion, ist ein logischer Junktor, der zwei Aussagen verbindet, um eine neue Aussage zu bilden, die genau dann wahr ist, wenn die ursprünglichen Aussagen den gleichen Wahrheitswert haben (beide wahr oder beide falsch), und andernfalls falsch ist. Es wird mit den Symbolen „↔“ oder „⇔“ dargestellt und als „genau dann, wenn“ gelesen. 

Einige Beispiele für die Verwendung des Bikonditionals sind:

• „Ein Dreieck ist gleichseitig genau dann, wenn seine drei Innenwinkel gleich sind“. Diese zusammengesetzte Aussage ist wahr, da in einem Dreieck beide Bedingungen – gleiche Seiten und gleiche Winkel – äquivalent sind.
• In der Aussage „Ich bestehe die Prüfung genau dann, wenn ich dafür lerne“ stellt das Bikonditional eine doppelte Bedingung auf: Lernen ist notwendig und hinreichend, um zu bestehen, und Bestehen impliziert, dass ich gelernt habe. Wenn ich lerne und bestehe, ist die Aussage wahr; wenn ich nicht lerne und trotzdem bestehe, ist sie falsch (ebenso wie wenn ich lerne und nicht bestehe).
• „Du kommst ins Konzert genau dann, wenn du eine Eintrittskarte hast“ ist nur in zwei Fällen wahr: wenn du eine Karte hast und eintreten kannst, oder wenn du keine Karte hast und nicht eintreten kannst. Der Satz wird falsch, wenn du zum Beispiel eine Karte hast, aber nicht hineingelassen wirst.

Wahrheitstafel

Wie bereits erwähnt, ist das Bikonditional nur dann wahr, wenn die beiden verbundenen Aussagen denselben Wahrheitswert haben (beide wahr oder beide falsch), und falsch, wenn ihre Wahrheitswerte unterschiedlich sind (eine wahr und eine falsch). Dies wird bei der Analyse seiner Wahrheitstafel deutlich:

p	q	p ↔ q
W	W	W
W	F	F
F	W	F
F	F	W

Es gibt verschiedene, bedeutungsgleiche Weisen, die bikonditionale Aussage p ↔ q zu lesen. Einige der gebräuchlichsten sind:

• p genau dann, wenn q.
• p ist äquivalent zu q.
• p ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für q.
• Wenn p, dann q, und wenn q, dann p.
• q genau dann, wenn p.

Im Deutschen wird die Wendung „genau dann, wenn“ oft mit „gdw.“ abgekürzt. Die Bikonditionalität steht in engem Zusammenhang mit logischen Äquivalenzen: Wenn A und B zwei Aussagenformeln sind und die Aussage A ↔ B immer wahr ist (eine Tautologie), dann sagen wir, dass A und B logisch äquivalent sind, und symbolisieren dies mit A ≡ B.

Es ist wichtig, das Bikonditional (↔) nicht mit dem einfachen Konditional (→), auch Subjunktion genannt, zu verwechseln. Während das Konditional festlegt, dass eine Aussage eine hinreichende Bedingung für die andere ist (wenn p, dann q), behauptet das Bikonditional eine gegenseitige Beziehung von Notwendigkeit und Hinlänglichkeit: p ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für q und umgekehrt.

Beispielsweise ist die Aussage „Wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist, dann ist sie gerade“ ein wahres Konditional: Durch 4 teilbar zu sein, ist eine hinreichende Bedingung dafür, gerade zu sein. Versuchen wir, dies in ein Bikonditional umzuwandeln: „Eine Zahl ist durch 4 teilbar genau dann, wenn sie gerade ist“, wird die Aussage falsch. Der Grund dafür ist, dass das Bikonditional verlangt, dass die Bedingung auch umgekehrt gilt. 

In diesem Fall ist es nicht wahr, dass „wenn eine Zahl gerade ist, sie auch durch 4 teilbar ist“ (denken wir an die Zahl 6, die gerade, aber nicht durch 4 teilbar ist). Daher ist das Geradesein keine hinreichende Bedingung für die Teilbarkeit durch 4, was die vom Bikonditional geforderte Äquivalenz widerlegt.

Eigenschaften

Das Bikonditional besitzt eine Reihe grundlegender logischer Eigenschaften, die wir im Folgenden betrachten werden.

1) Äquivalenz zu einer Konjunktion von Konditionalen: Die wesentliche Eigenschaft des Bikonditionals ist, dass es logisch äquivalent zur Konjunktion von zwei entgegengesetzt gerichteten Konditionalen ist (ein Konditional und seine Umkehrung). 

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)

Das bedeutet, dass die Behauptung „p genau dann, wenn q“ dasselbe ist wie die gleichzeitige Behauptung von „wenn p, dann q“ und „wenn q, dann p“.

2) Definition mit Konjunktion und Disjunktion: Das Bikonditional kann auch unter Verwendung der Junktoren Konjunktion und Disjunktion definiert werden. 

p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)

Dies ist äquivalent zu der Aussage, dass entweder beide Aussagen wahr sind oder beide falsch sind.

3) Reflexivität: Jede Aussage ist zu sich selbst äquivalent. Dies ist eine grundlegende Eigenschaft.

p ↔ p

4) Kommutativität: Die Reihenfolge der Aussagen in einem Bikonditional ändert seinen Wahrheitswert nicht. 

p ↔ q ≡ q ↔ p

5) Transitivität: Wenn eine Aussage zu einer zweiten äquivalent ist und diese zweite zu einer dritten äquivalent ist, dann sind auch die erste und die dritte Aussage äquivalent.

Wenn (p ↔ q) und (q ↔ r) wahr sind, dann ist auch (p ↔ r) wahr.

6) Assoziativität: Werden mehrere Bikonditionale verknüpft, ändert die Art der Klammerung das Ergebnis nicht.

(p ↔ q) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r)

7) Beziehung zur exklusiven Disjunktion: Das Bikonditional und die exklusive Disjunktion (⊕) sind logische Negationen voneinander. Während das Bikonditional wahr ist, wenn die Wahrheitswerte übereinstimmen, ist die exklusive Disjunktion wahr, wenn die Werte unterschiedlich sind.

(p ↔ q) ≡ ¬(p ⊕ q)

8) Negation eines Bikonditionals: Eine Äquivalenz zu negieren bedeutet zu behaupten, dass die Aussagen unterschiedliche Wahrheitswerte haben; dies ist genau die Definition der exklusiven Disjunktion.

¬(p ↔ q) ≡ (p ⊕ q) ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)

9) Kontraposition des Bikonditionals: Wie beim einfachen Konditional hat auch das Bikonditional eine gültige kontrapositive Form.

(p ↔ q) ≡ (¬q ↔ ¬p)