Mengeninklusion

Die Inklusion ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen, bei der alle Elemente der ersten Menge auch Elemente der zweiten Menge sind. Mit anderen Worten, die erste Menge ist in der zweiten enthalten. Es gibt zwei Arten der Inklusion: die nicht-strikte und die strikte Inklusion.

Nicht-strikte Inklusion

Wenn eine Menge A in einer Menge B nicht-strikt enthalten ist, wird A als Teilmenge von B bezeichnet. Da diese Art der Inklusion am häufigsten verwendet wird, nennen wir sie einfach „Inklusion“; wenn wir über die andere Art sprechen, werden wir dies entsprechend kenntlich machen.

Um anzuzeigen, dass eine Menge nicht in einer anderen enthalten ist, wird das durchgestrichene Symbol ⊈ verwendet. Somit bedeutet A ⊈ B, dass A keine Teilmenge von B ist.

Beispiele

1. Die Menge A = {1, 2, 3} ist in der Menge B = {1, 2, 3, 4, 5} enthalten, da die Elemente von A auch Elemente von B sind. Also gilt: A ⊆ B.
2. Die Menge C = {a, b, c, d} ist in der Menge D = {1, 2, 3, a, b, c, d, e} enthalten, da jedes Element von C auch in D enthalten ist. Also gilt: C ⊆ D.
3. Die Menge M = {-1, 0, 1} ist nicht in N = {1, 0} enthalten, da M Elemente besitzt, die nicht in N sind. Also gilt: M ⊈ N. Man kann jedoch feststellen, dass N in M enthalten ist. Also gilt: N ⊆ M.
4. Die Menge E = {1, 2} ist in F = {2, 1} enthalten, da jedes Element von E auch ein Element von F ist. Also gilt: E ⊆ F. Die umgekehrte Beziehung gilt ebenfalls: F ⊆ E. Dies ist der Fall, weil die Mengen E und F gleich sind.
5. Die Menge der natürlichen Zahlen ℕ₀ ist in der Menge der ganzen Zahlen ℤ enthalten, da jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist. Also gilt: ℕ₀ ⊆ ℤ. Die umgekehrte Beziehung gilt nicht, da es ganze Zahlen gibt, die nicht natürlich sind (die negativen Zahlen). Also gilt: ℤ ⊈ ℕ₀.

Basierend auf den Beispielen können wir sagen, dass zum Beweis der Inklusion einer Menge in einer anderen gezeigt werden muss, dass jedes Element der ersten Menge auch ein Element der zweiten ist.

Eigenschaften der Inklusion

Die nicht-strikte Inklusion erfüllt die folgenden Eigenschaften:

1) Reflexivität: Jede Menge ist in sich selbst enthalten, d. h. A ⊆ A.

2) Antisymmetrie: Wenn eine Menge in einer anderen enthalten ist und diese wiederum in der ersten enthalten ist, dann sind beide Mengen gleich. Das heißt, wenn A ⊆ B und B ⊆ A, dann ist A = B.

3) Transitivität: Wenn eine Menge in einer zweiten enthalten ist und diese wiederum in einer dritten, dann ist auch die erste Menge in der dritten enthalten. Das heißt, wenn A ⊆ B und B ⊆ C, dann ist A ⊆ C.

4) Die leere Menge ist in jeder Menge enthalten, auch in sich selbst. Das heißt, Ø ⊆ A und auch Ø ⊆ Ø. Der Beweis dieser Eigenschaft ergibt sich aus der Definition:

Ø ⊆ A genau dann, wenn ∀x: (x ∈ Ø → x ∈ A)

Da die Aussage x ∈ Ø falsch ist, weil die leere Menge keine Elemente enthält, ist die Implikation x ∈ Ø → x ∈ A wahr, da ihr Antezedens falsch ist. Somit ist Ø ⊆ A erfüllt.

Strikte Inklusion

Wenn eine Menge A strikt in einer Menge B enthalten ist, wird A als echte Teilmenge von B bezeichnet. Um anzuzeigen, dass eine Menge nicht strikt in einer anderen enthalten ist, wird das durchgestrichene Symbol ⊄ verwendet. Somit bedeutet A ⊄ B, dass A nicht strikt in B enthalten ist.

Beispiele

1. Die Menge A = {1, 2, 3} ist strikt in der Menge B = {1, 2, 3, 4, 5} enthalten, da die Elemente von A auch Elemente von B sind und es zusätzlich Elemente in B gibt, die nicht in A sind (die „4“ und die „5“). Also gilt: A ⊂ B.
2. Die Menge E = {1, 2} ist nicht strikt in F = {2, 1} enthalten, denn obwohl jedes Element von E auch ein Element von F ist, gibt es keine Elemente in F, die nicht in E sind. Mit anderen Worten, die Menge F ist nicht größer als E, daher ist die strikte Inklusion nicht erfüllt: E ⊄ F.

Jede strikte Inklusion ist auch eine nicht-strikte Inklusion, aber nicht jede nicht-strikte Inklusion ist strikt. Eine Menge kann in einer anderen nicht-strikt enthalten sein, ohne strikt enthalten zu sein, wie im zweiten Beispiel. 

Symbolik

Die folgende Tabelle fasst die für die Mengeninklusion verwendete Symbolik zusammen.

Symbol	Bedeutung
A ⊆ B	A ist in B enthalten
A ⊈ B	A ist nicht in B enthalten
A ⊂ B	A ist strikt in B enthalten
A ⊄ B	A ist nicht strikt in B enthalten