Aussagenlogik

In diesem Artikel erklären wir, was die Aussagenlogik ist, wozu sie dient, und stellen ihre grundlegenden Konzepte anhand von Beispielen vor.

Was ist die Aussagenlogik?

Die Aussagenlogik, auch als Aussagenkalkül bekannt, ist ein Teilgebiet der mathematischen Logik, das sich mit Aussagen und deren Verknüpfungen durch logische Junktoren befasst. 

Im Gegensatz zur Prädikatenlogik quantifiziert die Aussagenlogik nicht über Variablen und verwendet keine freien Variablen, weshalb sie als ein System der Logik erster Ordnung gilt. Die Aussagenlogik ermöglicht die Analyse der Struktur und Gültigkeit von Argumenten und bietet Werkzeuge, um zu bewerten, ob eine Schlussfolgerung korrekt ist, basierend auf dem Wahrheitswert ihrer Aussagen.

In diesem Artikel werden wir die grundlegenden Konzepte der Aussagenlogik betrachten, darunter:

• Aussagen: Sätze, die als wahr oder falsch bewertet werden können.
• Logische Junktoren: Wörter oder Symbole, die verwendet werden, um zwei oder mehr einfache Aussagen zu verbinden und zusammengesetzte Aussagen zu bilden.
• Wahrheitstabellen: Werkzeuge, die es ermöglichen, den Wahrheitswert von zusammengesetzten Aussagen zu bewerten.

Aussagen

Eine Aussage ist ein deklarativer Satz, der entweder wahr oder falsch sein kann, aber nicht beides gleichzeitig. Aussagen sind die Grundeinheiten der Aussagenlogik und werden mit den Kleinbuchstaben p, q, r, s, usw. dargestellt.

Beispiele:

• p: „Die Sonne ist ein Stern“. (Wahre Aussage).
• q: „Die Erde ist flach“. (Falsche Aussage).
• r: „2 + 2 = 4“. (Wahre Aussage).
• s: „Wasser kocht bei 90°C“. (Diese Aussage ist falsch).

Der Wahrheitswert einer Aussage ist eine der beiden möglichen Optionen: wahr (W) oder falsch (F). Er bestimmt, ob die in der Aussage ausgedrückte Information im Verhältnis zur Realität korrekt oder inkorrekt ist.

Es gibt zwei Arten von Aussagen:

• Einfache oder atomare Aussagen: Sie sind die Grundeinheiten, wie die, die wir in den vorherigen Beispielen gesehen haben. Sie können nicht in kleinere Aussagen zerlegt werden. 
• Zusammengesetzte oder molekulare Aussagen: Sie werden durch die Kombination von einfachen Aussagen mit logischen Junktoren (die wir als Nächstes betrachten) gebildet.

Mehr Informationen und Beispiele für Aussagen

Logische Junktoren

Logische Junktoren (oder Verknüpfungen) sind Wörter, die es uns ermöglichen, zwei oder mehr Aussagen zu einer neuen Aussage mit einem eigenen Wahrheitswert zu verbinden. Die sechs am häufigsten verwendeten logischen Junktoren sind:

• Negation (¬): Repräsentiert die Falschheit einer Aussage und wird als „nicht“ oder „es ist nicht der Fall, dass“ gelesen. Beispiel: Wenn p „Die Tür ist offen“ ist, dann ist ¬p „Die Tür ist nicht offen“.
• Konjunktion (∧): Zeigt die Verbindung von zwei oder mehr Aussagen an, die gleichzeitig wahr sein müssen, damit der gesamte Ausdruck wahr ist. Sie wird als „und“ oder „aber“ gelesen. Beispiel: Wenn p „Die Tür ist offen“ und q „Das Licht ist an“ ist, dann ist die Aussage p ∧ q „Die Tür ist offen und das Licht ist an“.
• Disjunktion (∨): Repräsentiert die Alternative zwischen zwei oder mehr Aussagen. Mindestens eine davon muss wahr sein, damit der gesamte Ausdruck wahr ist. Sie wird als „oder“ gelesen. Beispiel: Wenn p „Die Tür ist offen“ und q „Das Licht ist an“ ist, dann ist p∨q „Die Tür ist offen oder das Licht ist an, oder beides“.
• Exklusive Disjunktion (⊕): Repräsentiert die Alternative zwischen zwei oder mehr Aussagen, bei der nur eine der beiden wahr sein darf, damit der Ausdruck wahr ist. Sie wird als „entweder … oder“ gelesen. Beispiel: Wenn p „Die Tür ist offen“ und q „Das Licht ist an“ ist, dann ist p⊕q „Entweder ist die Tür offen oder das Licht ist an, aber nicht beides“.
• Konditional oder Implikation (→): Stellt eine Ursache-Wirkungs-Beziehung zwischen zwei Aussagen her. Die erste Aussage (Antezedens) impliziert die zweite (Konsequens). Es wird als „wenn … dann“ gelesen. Beispiel: Wenn p „Die Tür ist offen“ und q „Das Licht ist an“ ist, dann ist p→q „Wenn die Tür offen ist, dann ist das Licht an“.
• Bikonditional oder Äquivalenz (↔): Drückt eine logische Äquivalenz zwischen zwei Aussagen aus. Beide Aussagen müssen gleichzeitig wahr oder gleichzeitig falsch sein. Es wird als „genau dann, wenn“ gelesen. Beispiel: Wenn p „Die Tür ist offen“ und q „Das Licht ist an“ ist, dann ist p↔q „Die Tür ist offen genau dann, wenn das Licht an ist“.

Mehr Informationen und Beispiele für die logischen Junktoren

Wahrheitstabellen

Wahrheitstabellen (oder Wahrheitstafeln) sind grundlegende Werkzeuge zur Bewertung des Wahrheitswerts von zusammengesetzten Aussagen. In ihnen werden alle möglichen Kombinationen von Wahrheitswerten für die atomaren Aussagen (auch „Belegungen“ genannt) aufgelistet und der Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage für jeden Fall berechnet.

Beispiel: Die Wahrheitstabelle für die Aussage p ∧ q lautet:

p	q	p ∧ q
W	W	W
W	F	F
F	W	F
F	F	F

Die Tabelle zeigt in ihrer letzten Spalte, dass die Aussage p ∧ q wahr ist, wenn p und q gleichzeitig wahr sind, und in jedem anderen Fall falsch ist.

Empfohlene Inhalte:

Wie man Wahrheitstabellen erstellt

Wahrheitstabellen der logischen Junktoren

Symbole der Aussagenlogik

In der folgenden Tabelle sind die Symbole der Aussagenlogik zusammen mit ihrem Namen und ihrer Lesart aufgeführt.

Symbol	Name	Gelesen als
¬	Negation	nicht
∧	Konjunktion	und
∨	Disjunktion	oder
⊕	Exklusive Disjunktion	entweder ... oder
→	Konditional	wenn ... dann
↔	Bikonditional	genau dann, wenn
∴	Folglich	folglich

Logische Äquivalenzen

In der Aussagenlogik sind zwei Aussagen logisch äquivalent, wenn sie bei allen möglichen Belegungen denselben Wahrheitswert haben. Das bedeutet, dass die betreffenden Aussagen austauschbar sind, ohne die Gültigkeit eines Arguments zu beeinträchtigen.

Zwei Aussagen p und q gelten als logische Äquivalenzen (symbolisiert als p ≡ q oder auch p↔q), genau dann, wenn ihre Wahrheitstabellen in allen Zeilen übereinstimmen. Das heißt, für jede mögliche Kombination von Wahrheitswerten der atomaren Aussagen, aus denen p und q bestehen, muss der Wahrheitswert von p derselbe sein wie der Wahrheitswert von q.

Logische Äquivalenzen sind in der mathematischen Logik und der Informatik von wesentlicher Bedeutung, da sie es ermöglichen, komplexe Aussagen zu vereinfachen, Theoreme zu beweisen und Argumente von einer Form in eine andere umzuwandeln, ohne ihre Gültigkeit zu verändern.

Einige der wichtigsten Gesetze der logischen Äquivalenz sind:

• Gesetz der doppelten Negation: ¬(¬p) ≡ p.
• Kommutativgesetz der Konjunktion: p ∧ q ≡ q ∧ p.
• Assoziativgesetz der Konjunktion: (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r).
• Distributivgesetz der Konjunktion über die Disjunktion: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r).
• Kommutativgesetz der Disjunktion: p ∨ q ≡ q ∨ p.
• Assoziativgesetz der Disjunktion: (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r).
• Absorptionsgesetz der Konjunktion in der Disjunktion: p ∧ (p ∨ q) ≡ p.
• Absorptionsgesetz der Disjunktion in der Konjunktion: p ∨ (p ∧ q) ≡ p.
• De Morgansches Gesetz für die Negation der Konjunktion: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
• De Morgansches Gesetz für die Negation der Disjunktion: ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

Alle logischen Äquivalenzen oder Gesetze ansehen

Um die logische Äquivalenz zweier Aussagen zu überprüfen, kann man Wahrheitstabellen erstellen. Dort werden alle möglichen Kombinationen von Wahrheitswerten für die Teilaussagen bewertet und die Ergebnisse verglichen.

Eigenschaften logischer Äquivalenzen:

• Reflexivität: Jede Aussage ist zu sich selbst äquivalent (p ≡ p).
• Symmetrie: Wenn p ≡ q, dann ist q ≡ p.
• Transitivität: Wenn p ≡ q und q ≡ r, dann ist p ≡ r.

Schlussregeln 

Schlussregeln (oder Inferenzregeln) sind Muster oder Formeln, die es ermöglichen, aus einer oder mehreren als wahr angenommenen Prämissen eine neue, gültige Aussage abzuleiten. Diese Regeln sind fundamental, um gültige logische Argumente aufzubauen und streng zu schlussfolgern.

Einige der gebräuchlichsten Schlussregeln sind:

1) Modus Ponens (MP): Erlaubt uns zu schlussfolgern, dass eine Aussage wahr ist, wenn wir wissen, dass eine Implikation wahr ist und ihr Antezedens ebenfalls wahr ist. In Symbolen: Wenn p → q und p wahr sind, dann muss q wahr sein.

*\begin{array}{l} p → q \\ p \\ \hline \therefore p \end{array}*

Beispiel:

1. Wenn Johann lernt (p), dann besteht er die Prüfung (q).
2. Johann lernt (p).
3. Folglich wird Johann die Prüfung bestehen (q).

2) Modus Tollens (MT): Erlaubt uns zu schlussfolgern, dass das Antezedens einer Implikation falsch ist, wenn wir wissen, dass die Implikation wahr ist und ihr Konsequens falsch ist. In Symbolen: Wenn p → q wahr ist und q falsch ist, dann muss p falsch sein.

*\begin{array}{l} p → q \\ ¬q \\ \hline \therefore ¬p \end{array}*

Beispiel:

• Wenn es regnet (p), dann ist die Straße nass (q).
• Die Straße ist nicht nass (¬q).
• Folglich regnet es nicht (¬p).

3) Disjunktiver Syllogismus (DS): Erlaubt uns zu schlussfolgern, dass eine von zwei Aussagen wahr ist, wenn wir wissen, dass eine Disjunktion wahr ist und einer ihrer Teile falsch ist. In Symbolen: Wenn p ∨ q wahr ist und p falsch ist, dann muss q wahr sein.

*\begin{array}{l} p ∨ q \\ ¬p \\ \hline \therefore q \end{array}*

Beispiel:

1. Maria ist zu Hause (p) oder sie ist im Büro (q).
2. Maria ist nicht zu Hause (¬p).
3. Folglich ist Maria im Büro (q).

4) Hypothetischer Syllogismus (HS): Erlaubt uns, aus zwei verknüpften Implikationen eine neue Implikation abzuleiten. In Symbolen: Wenn p → q wahr ist und q → r wahr ist, dann muss p → r wahr sein.

*\begin{array}{r} p → q \\ q → r \\ \hline \therefore p → r \end{array}*

Beispiel:

• Wenn Peter ins Kino geht (p), dann kauft er Popcorn (q).
• Wenn Peter Popcorn kauft (q), dann ist er glücklich (r).
• Folglich, wenn Peter ins Kino geht (p), dann ist er glücklich (r).

Logische Schaltungen

Logische Schaltungen sind grafische Darstellungen, die Symbole und Diagramme verwenden, um die Beziehungen zwischen Aussagen und ihren Wahrheitswerten zu veranschaulichen. Diese Schaltungen ermöglichen es, die Funktionsweise der logischen Junktoren intuitiv zu visualisieren und zu verstehen, wie Wahrheitswerte durch den Stromfluss in einem elektrischen Schaltkreis mit einem oder mehreren Schaltern bestimmt werden.

In der digitalen Elektronik verarbeiten diese Schaltungen binäre Signale (0 und 1, die jeweils die Wahrheitswerte falsch und wahr darstellen), um logische Operationen durchzuführen. Logische Schaltungen sind grundlegend für den Aufbau digitaler Systeme wie Computer, mobile Geräte und andere elektronische Geräte.

Die grundlegenden Komponenten einer logischen Schaltung sind:

1) Aussagen (logische Variablen): Sie stellen die Eingänge der Schaltung dar. Jede logische Variable kann einen von zwei Werten annehmen: 0 (falsch) oder 1 (wahr).

2) Logische Junktoren (Logikgatter): Sie führen logische Operationen mit den Variablen durch. Die grundlegenden Logikgatter sind:

• AND (Konjunktion): Erzeugt einen Ausgang von 1 nur dann, wenn alle seine Eingänge 1 sind.
• OR (Disjunktion): Erzeugt einen Ausgang von 1, wenn mindestens einer seiner Eingänge 1 ist.
• NOT (Negation): Erzeugt einen Ausgang, der die Umkehrung seines Eingangs ist (0 wird zu 1 und 1 wird zu 0).
• NAND (Negation der Konjunktion): Erzeugt einen Ausgang von 0 nur dann, wenn alle seine Eingänge 1 sind.
• NOR (Negation der Disjunktion): Erzeugt einen Ausgang von 0, wenn mindestens einer seiner Eingänge 1 ist.
• XOR (exklusive Disjunktion): Erzeugt einen Ausgang von 1, wenn genau einer seiner Eingänge 1 ist.
• XNOR (Negation der exklusiven Disjunktion): Erzeugt einen Ausgang von 1, wenn beide Eingänge gleich sind.

Beispiel: Die logische Schaltung, die der zusammengesetzten Aussage p ∧ (q ∨ r) entspricht, ist:

Anwendungen der Aussagenlogik

Die Aussagenlogik hat aufgrund ihrer Fähigkeit, Argumente zu formalisieren und zu analysieren, zahlreiche Anwendungen in verschiedenen Bereichen. Einige der wichtigsten Anwendungen der Aussagenlogik sind:

• Digitale Schaltungen: Sie sind die Grundlage von Computern und anderen elektronischen Geräten und basieren auf der Booleschen Algebra, die eine direkte Anwendung der Aussagenlogik ist.
• Mathematik: Die Aussagenlogik ist grundlegend für die Axiomatisierung und Entwicklung der Mathematik. Sie wird verwendet, um mathematische Konzepte zu definieren und Theoreme zu formulieren und zu beweisen.
• Informatik: Programmiersprachen basieren auf den Prinzipien der Aussagenlogik, um Bedingungen auszuwerten und den Programmablauf zu steuern.
• Philosophie: In der philosophischen Analyse wird die Aussagenlogik verwendet, um die Natur der Wahrheit, der Bedeutung und der Argumentation zu untersuchen.
• Rechtswissenschaft: Die Aussagenlogik wird in der juristischen Analyse verwendet, um die Gültigkeit von rechtlichen Argumenten zu bewerten und mögliche Trugschlüsse in der juristischen Argumentation zu identifizieren.
• Bildung: Das Lehren der Aussagenlogik in der Grund- und Sekundarstufe hilft, das kritische Denken und die logischen Denkfähigkeiten der Schüler zu entwickeln.