Teilmenge einer Menge

Eine Teilmenge ist eine Sammlung von Elementen, die vollständig in einer anderen Menge enthalten sind, die größer sein kann oder nicht. Zum Beispiel ist die Menge {1, 2} eine Teilmenge von {1, 2, 3}, weil alle Elemente der ersten auch in der zweiten Menge enthalten sind.

Es gibt zwei Arten von Teilmengen: echte und unechte. Eine echte Teilmenge ist eine, deren Elemente in einer anderen Menge enthalten sind, aber diese letztere Menge Elemente hat, die nicht in der ersteren sind, d. h. sie können keine gleichen Mengen sein. Eine unechte Teilmenge ist eine, die mit der ursprünglichen Menge identisch ist.

Formale Definition

Beispiele

1. Die Menge A = {a, b} ist eine Teilmenge von B = {a, b, c, d}, da die Elemente von A auch in B enthalten sind, also A ⊆ B.
2. Die Menge aller Säugetiere hat die Menge aller Menschen als Teilmenge, da jeder Mensch ein Säugetier ist. 
3. Die Menge C = {0, 1, 2, 3} ist eine Teilmenge von D = {-1, 0, 1, 2, 3, a, b}, da jedes Element von C auch in D enthalten ist, also  C ⊆ D.
4. Die Menge aller Pflanzen ist eine Teilmenge der Menge aller Lebewesen.
5. Die Menge P = {p, q, r, s} ist keine Teilmenge von Q = {p, r}, da P Elemente enthält, die nicht in Q sind, also: P ⊈ Q. Wir können jedoch feststellen, dass Q eine Teilmenge von P ist, also Q ⊆ P.
6. Die Menge M = {-1, 1} ist eine Teilmenge von N = {1, -1}: M ⊆ N; und umgekehrt ist N eine Teilmenge von M: N ⊆ M. In diesem Fall sagt man, dass beide Mengen gleich sind: M = N. Anders ausgedrückt ist M eine unechte Teilmenge von N.
7. Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen, da jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist, also ℕ ⊆ ℤ. Da es jedoch ganze Zahlen gibt, die nicht natürlich sind (die negativen Zahlen), gilt die umgekehrte Beziehung nicht: ℤ ist keine Teilmenge von ℕ: ℤ ⊈ ℕ.
8. Die Menge aller positiven reellen Zahlen ℝ⁺ ist eine Teilmenge der reellen Zahlen, da jede positive reelle Zahl auch eine reelle Zahl ist: ℝ⁺ ⊆ ℝ.
9. Wenn wir T als die Menge aller Dreiecke bezeichnen, dann ist die Menge E der gleichseitigen Dreiecke eine Teilmenge von T: E ⊆ T.
10. Die leere Menge wird als unechte Teilmenge ihrer selbst betrachtet: ∅ ⊆ ∅. Außerdem ist die leere Menge eine Teilmenge jeder beliebigen Menge: ∅ ⊆ A für jede Menge A.

Um zu beweisen, dass eine Menge eine Teilmenge einer anderen ist, muss gezeigt werden, dass jedes Element der ersten auch ein Element der zweiten ist. Um zu beweisen, dass eine Menge keine Teilmenge einer anderen ist, genügt es, ein Element der ersten zu finden, das nicht in der zweiten enthalten ist.

Die Menge, die alle Teilmengen von A enthält, wird als Potenzmenge von A bezeichnet und mit P(A) symbolisiert. Wenn A n Elemente hat, hat ihre Potenzmenge 2ⁿ Elemente. Das heißt, die Anzahl der Teilmengen einer Menge mit n Elementen ist 2ⁿ. Zum Beispiel, wenn A = {1, 2, 3}, ist ihre Potenzmenge P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. In diesem Fall beträgt die Anzahl der Teilmengen 2³ = 8.

Echte Teilmenge

Wenn es mindestens ein Element in A gibt, das nicht in B ist, oder wenn A und B gleich sind, dann sagt man, dass A keine echte Teilmenge von B ist, und dies wird als A ⊄ B symbolisiert.

Beispiele

1. Die Menge A = {a, b} ist eine echte Teilmenge von B = {a, b, c, d}, da die Elemente von A auch in B enthalten sind und es Elemente in B gibt, die nicht in A sind („c“ und „d“). Also A ⊂ B. Man beachte, dass auch A ⊆ B gilt. 
2. Die Menge M = {-1, 1} ist keine echte Teilmenge von N = {1, -1}, da beide Mengen gleich sind, also M ⊄ N. Es gilt jedoch M ⊆ N, d.h., M ist eine Teilmenge von N, aber keine echte Teilmenge.
3. Die Menge aller spanischsprachigen Menschen ist eine echte Teilmenge der Menge aller Menschen.
4. Die Menge der natürlichen Zahlen ist nicht nur eine Teilmenge der ganzen Zahlen, sondern auch eine echte Teilmenge davon: ℕ ⊂ ℤ.
5. Die Menge P der geraden Zahlen ist eine echte Teilmenge der ganzen Zahlen (P ⊂ ℤ), da es ganze Zahlen gibt, die nicht gerade sind.
6. Die Menge der rationalen Zahlen (ℚ) ist eine echte Teilmenge der reellen Zahlen (ℝ): ℚ ⊂ ℝ, da es in ℝ irrationale Zahlen (wie π oder √2) gibt, die nicht in ℚ enthalten sind.
7. Das Intervall [0, 1] ist eine echte Teilmenge des Intervalls [-1, 2]: [0, 1] ⊂ [-1, 2], da [-1, 2] Zahlen kleiner als 0 und größer als 1 enthält, die nicht in [0, 1] sind.
8. Das Intervall (5, 10) ist eine echte Teilmenge des Intervalls [5, 10), d.h.: (5,10) ⊂ [5,10), weil die zweite Menge die Zahl 5 enthält, die nicht in der ersten ist.
9. Die Menge aller Quadrate ist eine echte Teilmenge der Menge aller Rechtecke (Quadrate ⊂ Rechtecke), da ein Quadrat ein Spezialfall eines Rechtecks ist, aber es Rechtecke gibt, die keine Quadrate sind (solche mit unterschiedlich langen Seiten).
10. Die Menge aller Kreise ist eine echte Teilmenge der Menge aller Ellipsen, da es Ellipsen gibt, die keine Kreise sind.

Jede echte Teilmenge ist auch eine Teilmenge, wie im ersten Beispiel, aber nicht jede Teilmenge ist eine echte Teilmenge, wie im zweiten Beispiel. 

Eigenschaften von Teilmengen

Teilmengen erfüllen die Eigenschaften der Mengeninklusion:

• Reflexivität: Jede Menge ist eine Teilmenge ihrer selbst, d.h. A ⊆ A.
• Antisymmetrie: Wenn eine Menge eine Teilmenge einer anderen ist und diese ebenfalls eine Teilmenge der ersten ist, dann sind beide Mengen gleich. Das heißt, wenn A ⊆ B und B ⊆ A, dann gilt A = B.
• Transitivität: Wenn eine Menge eine Teilmenge einer zweiten ist und diese wiederum eine Teilmenge einer dritten ist, dann ist die erste Menge auch eine Teilmenge der dritten. Das heißt, wenn A ⊆ B und B ⊆ C, dann gilt A ⊆ C.
• Die leere Menge ist eine Teilmenge jeder Menge, einschließlich ihrer selbst. Also ∅ ⊆ A und ∅ ⊆ ∅.
• Alle Mengen sind Teilmengen der Universalmenge U: A ⊆ U.

Symbolik

Nachfolgend wird die Symbolik zusammengefasst, die für Teilmengen verwendet wird.

Symbol	Bedeutung
A ⊆ B	A ist eine Teilmenge von B
A ⊈ B	A ist keine Teilmenge von B
B ⊇ A	B ist eine Obermenge von A
A ⊂ B	A ist eine echte Teilmenge von B
A ⊄ B	A ist keine echte Teilmenge von B

Hinweis: Die Symbole A ⊆ B und A ⊂ B werden in der Mathematik nicht einheitlich verwendet. Manchmal wird das Symbol ⊆ für Teilmengen und manchmal für echte Teilmengen verwendet, das Gleiche gilt für das Symbol ⊂. Es ist auch wichtig zu beachten, dass die Inklusionssymbole (⊆ und ⊂) verwendet werden, um zwei Mengen miteinander in Beziehung zu setzen, nicht um ein Element mit einer Menge in Beziehung zu setzen. Dafür wird das Symbol ∈ (gelesen als „ist Element von“) verwendet.