Schnittmenge

Die Schnittmenge ist eine grundlegende Operation, die eine neue Menge erzeugt, die ausschließlich aus den Elementen besteht, die die ursprünglichen Mengen gemeinsam haben, also den gemeinsamen Elementen. Sie wird durch das Symbol „∩“ dargestellt.

Der Hauptunterschied zwischen der Vereinigung und der Schnittmenge liegt in den Elementen, die sie umfassen: Während die Vereinigung alle Elemente der beteiligten Mengen zusammenfasst, beschränkt sich die Schnittmenge ausschließlich auf diejenigen, die allen gemeinsam sind.

Beispiele

Im Folgenden werden wir verschiedene Fälle von Schnittmengen betrachten. Es ist wichtig zu wissen, dass das Ergebnis die leere Menge (Ø) ist, wenn es keine gemeinsamen Elemente gibt, und Mengen, deren Schnittmenge leer ist, als disjunkt bezeichnet werden.

Beispiel 1

Gegeben seien die Mengen A = {1, 2, 3} und B = {3, 4, 5}. Finden Sie ihre Schnittmenge.

Lösung

Wir identifizieren die Elemente, die in beiden Mengen vorhanden sind. Wir stellen fest, dass nur die Zahl 3 diese Bedingung erfüllt. Daher ist die Schnittmenge:

A ∩ B = {3}

Grafisch ist die Lösung:

Beispiel 2

Bestimmen Sie die Schnittmenge von A = {a, b, c, d, e} und B = {b, c, f, g, h}.

Lösung

Wir suchen die Elemente, die gleichzeitig zu A und zu B gehören. Die Buchstaben ‚b‘ und ‚c‘ sind die einzigen, die in beiden vorkommen. Somit lautet die Schnittmenge:

A ∩ B = {b, c}

Beispiel 3

Berechnen Sie die Schnittmenge von E = {-1, -2, -3} und F = {1, 2, 3}.

Lösung

In diesem Fall haben die Mengen E und F kein gemeinsames Element; sie sind disjunkte Mengen. Die Schnittmenge zweier disjunkter Mengen ist immer die leere Menge:

E ∩ F = ∅

Beispiel 4

Gegeben seien die Mengen A = {b, c, d, e}, B = {c, e, h, f, k} und C = {a, b, e, h}. Berechnen Sie die Schnittmenge der drei Mengen.

Lösung

Wir können schrittweise vorgehen. Zuerst berechnen wir die Schnittmenge von A und B: Die gemeinsamen Elemente beider Mengen sind ‚c‘ und ‚e‘, daher gilt:

A ∩ B = {c, e}

Anschließend bilden wir die Schnittmenge dieses Ergebnisses mit der Menge C. 

(A ∩ B) ∩ C = {c, e} ∩ {a, b, e, h}

Von den Elementen {c, e} ist nur ‚e‘ in C enthalten. Daher ist die endgültige Schnittmenge der drei Mengen die folgende Einermenge:

A ∩ B ∩ C = {e}

Grafisch ist die Lösung:

Hinweis: Aufgrund der Assoziativitäts- und Kommutativitätseigenschaften der Schnittmenge beeinflusst die Reihenfolge, in der wir die Schnittmengen berechnen, das Ergebnis nicht. So hätten wir zuerst A ∩ C oder B ∩ C berechnen und dann die Schnittmenge mit der verbleibenden Menge bilden können.

Beispiel 5

Bestimmen Sie die Schnittmenge von A = {1, 2, 4, 7}, B = {2, 3, 4, 5, 9} und C = {4, 5, 6, 7}.

Lösung

Wir beginnen damit, die gemeinsamen Elemente von A und B zu finden, nämlich 2 und 4:

A ∩ B = {2, 4}

Anschließend suchen wir die Elemente dieser neuen Menge, die auch zu C gehören. Von {2, 4} ist nur die Zahl 4 in C enthalten. Somit ist die Schnittmenge der drei Mengen:

A ∩ B ∩ C = {4}

Beispiel 6

Gegeben seien die Mengen M = {x ∈ N | x ist ein Vielfaches von 3 und x < 15} und N = {x ∈ N | x ist gerade und x ≤ 12}. Finden Sie M ∩ N.

Lösung

Die Mengen sind in beschreibender Form gegeben, also drücken wir sie zuerst in aufzählender Form aus, um ihre Elemente zu identifizieren.

Die Menge M besteht aus den natürlichen Zahlen, die Vielfache von 3 und kleiner als 15 sind:

M = {3, 6, 9, 12}

Die Menge N enthält die geraden natürlichen Zahlen, die kleiner oder gleich 12 sind:

N = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Die Schnittmenge besteht aus den Elementen, die beiden Mengen gemeinsam sind. Die Zahlen, die sowohl in M als auch in N vorkommen, sind 6 und 12. Daher ist die Schnittmenge:

M ∩ N = {6, 12}

Eigenschaften

Die Schnittmengenoperation in der Mengenlehre besitzt wesentliche Eigenschaften, die ihre Handhabung und Berechnung erleichtern.

1) Kommutativität: Die Reihenfolge der Mengen ändert das Ergebnis nicht.

A ∩ B = B ∩ A

2) Assoziativität: Die Gruppierung der Mengen beim Bilden der Schnittmenge beeinflusst die endgültige Menge nicht.

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

3) Idempotenz: Der Schnitt einer Menge mit sich selbst ergibt dieselbe Menge.

A ∩ A = A

4) Identitätselement (oder neutrales Element): Bildet man die Schnittmenge einer beliebigen Menge mit der Universalmenge, erhält man die ursprüngliche Menge.

A ∩ U = A

5) Absorptionseigenschaft: Die Schnittmenge einer beliebigen Menge mit der leeren Menge ergibt die leere Menge.

A ∩ ∅ = ∅

6) Distributivität bezüglich der Vereinigung: Die Schnittmenge ist distributiv über die Vereinigung von Mengen.

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

7) De Morgansches Gesetz: Das Komplement einer Schnittmenge entspricht der Vereinigung der Komplemente.

(A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ

8) Kardinalität: Für endliche Mengen steht die Größe der Schnittmenge in Beziehung zur Größe der einzelnen Mengen und ihrer Vereinigung.

|A ∩ B| = |A| + |B| - |A ∪ B|

9) Beziehungen zu Teilmengen:

• Wenn eine Menge in einer anderen enthalten ist, ist ihre Schnittmenge die kleinere Menge: Wenn A ⊆ B, dann ist A ∩ B = A.
• Die Schnittmenge zweier Mengen ist immer eine Teilmenge von jeder der beiden Mengen: A ∩ B ⊆ A und A ∩ B ⊆ B.
• Wenn zwei Mengen Teilmengen einer dritten Menge sind, ist auch ihre Schnittmenge eine Teilmenge davon: Wenn A ⊆ C und B ⊆ C, dann ist A ∩ B ⊆ C
• Wenn eine Menge eine Teilmenge von zwei anderen Mengen ist, ist sie auch eine Teilmenge ihrer Schnittmenge: Wenn X ⊆ A und X ⊆ B, dann ist X ⊆ A ∩ B.