Logische Negation

Die Negation ist ein logischer Operator, der eine Aussage in ihr logisches Gegenteil umwandelt. Wenn eine Aussage wahr ist, ist ihre Negation falsch, und umgekehrt. Sie wird mit dem Symbol ¬ bezeichnet, daher ist die Negation der Aussage p ¬p.

Beispiele für Negation:

• Wenn p die Aussage „es regnet“ ist, dann ist ¬p „es regnet nicht“.
• Wenn q „die Zahl 7 ist gerade“ ist, dann ist ¬q „die Zahl 7 ist nicht gerade“.
• Wenn r „die Sonne ist hell“ ist, lautet die Aussage ¬r „es ist falsch, dass die Sonne hell ist“.

Wahrheitstafel

Die Wahrheitstafel der Negation gibt einen falschen Wert zurück, wenn die ursprüngliche Aussage wahr ist, und einen wahren Wert, wenn die ursprüngliche Aussage falsch ist.

p	¬p
W	F
F	W

Beispiele

In der folgenden Tabelle werden Beispiele für Aussagen in der ersten Spalte und deren Negationen in der zweiten Spalte gezeigt.

Ursprüngliche Aussage	Negation
Johann hat seine Hausaufgaben fertig gemacht	Johann hat seine Hausaufgaben nicht fertig gemacht
2+2=5	2+2≠5
Der Himmel ist nicht blau	Der Himmel ist blau
Maria ist Ingenieurin	Maria ist keine Ingenieurin
Rosen sind Pflanzen	Rosen sind keine Pflanzen
Es regnet und es ist kalt	Es ist nicht wahr, dass es regnet und kalt ist
Karl ist zu Hause oder im Büro	Es ist falsch, dass Karl zu Hause oder im Büro ist

Es ist möglich, sowohl eine einfache Aussage (die ersten fünf Beispiele) als auch eine zusammengesetzte Aussage (die letzten beiden Beispiele) zu negieren. Bei zusammengesetzten Aussagen kann die Negation komplexer sein und hängt von der Art des logischen Operators ab, der die einfachen Aussagen verbindet. 

Es gibt spezifische Regeln für die Negation von zusammengesetzten Aussagen, die Konjunktionen, Disjunktionen, Konditionale und Bikonditionale beinhalten. Auch die Negation einer Negation (wie im Beispiel „der Himmel ist nicht blau“) hat eine besondere Regel. Wir werden sie alle im Folgenden betrachten. 

Eigenschaften der Negation

Der logische Operator der Negation erfüllt die folgenden Eigenschaften.

Doppelte Negation

Beispiele

• „Es ist nicht wahr, dass das Buch nicht auf dem Tisch liegt“ ist äquivalent zu „das Buch liegt auf dem Tisch“.
• „Es ist falsch, dass Peter die Prüfung nicht bestanden hat“ ist äquivalent zu „Peter hat die Prüfung bestanden“.
• „Es ist nicht wahr, dass Maria nicht in Buenos Aires lebt“ ist äquivalent zu „Maria lebt in Buenos Aires“.

De Morgan'sche Gesetze  

Die Negation ist nicht distributiv, jedoch ermöglichen die De Morgan'schen Gesetze eine Art „Distributivität“ der Negation über eine Konjunktion und eine Disjunktion. 

Beispiele

• Für die zusammengesetzte Aussage „es regnet und es ist kalt“ lautet die Negation „es regnet nicht oder es ist nicht kalt“.
• Die Aussage „Anna geht ins Kino und isst mit Freunden zu Abend“ hat als Negation „Anna geht nicht ins Kino oder isst nicht mit Freunden zu Abend“.
• Die Aussage „Peter lernt viel und bekommt gute Noten“ wird negiert als „Peter lernt nicht viel oder bekommt keine guten Noten“.

Beispiele

• Wenn die zusammengesetzte Aussage „Karl ist zu Hause oder in seinem Büro“ lautet, ist ihre Negation „Karl ist nicht zu Hause und nicht im Büro“.
• Die Aussage „morgen gehe ich in den Park oder ins Museum“ hat als Negation „morgen gehe ich nicht in den Park und nicht ins Museum“.
• Die Aussage „Johann isst Nudeln oder Pizza“ wird negiert als „Johann isst keine Nudeln und keine Pizza“.

Negation von Konditional und Bikonditional

Beispiel: Die Aussage „wenn es regnet (p), dann nehme ich einen Regenschirm mit (q)“ hat als Negation „es ist nicht wahr, dass wenn es regnet, ich einen Regenschirm mitnehme“, was äquivalent ist zu „es regnet und ich nehme keinen Regenschirm mit“.

Beispiel: Für die Aussage „es regnet genau dann, wenn es kalt ist“ lautet ihre Negation „entweder regnet es oder es ist kalt, aber nicht beides“.

Weitere Eigenschaften

• Es ist nicht möglich, dass eine Aussage und ihre Negation gleichzeitig wahr sind. Dies ist als Satz vom Widerspruch bekannt: ¬(p ∧ ¬p).
• Die Aussage p ∨ ¬p ist immer wahr und wird als Satz vom ausgeschlossenen Dritten bezeichnet: Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch, ohne eine dritte Möglichkeit. 
• Die Negation einer Tautologie (einer immer wahren Aussage) ist ein Widerspruch (eine immer falsche Aussage), und die Negation eines Widerspruchs ist eine Tautologie. 

Negation in der Mengenlehre

In der Mengenlehre wird die logische Negation verwendet, um das Komplement zu definieren: Das Komplement einer Menge A, bezeichnet mit Aᶜ, ist die Menge aller Elemente, die zur Grundmenge gehören, aber nicht zu A.

Aᶜ = {x ∈ U | x ∉ A}

Beachten Sie, dass der Ausdruck x ∉ A äquivalent zu ¬(x ∈ A) ist. 

Beispiele

• Wenn wir als Grundmenge die Menge aller Menschen und als Menge A die Menge der Personen über 18 Jahre nehmen, besteht das Komplement von A aus allen Personen, die nicht über 18 Jahre alt sind. 
• Betrachten wir die Grundmenge U = {1, 2, 3, 4, 5} und die Menge A = {2, 4}. Dann ist das Komplement von A Aᶜ = {1, 3, 5}, da es aus allen Elementen besteht, die A fehlen, um gleich der Grundmenge zu sein. 

Das Komplement einer Menge erfüllt eine Reihe von Eigenschaften, die eng mit den zuvor gesehenen Eigenschaften der Negation zusammenhängen. Dazu gehören:

• Involutionsgesetz: Das Komplement des Komplements einer Menge ist gleich der ursprünglichen Menge: (Aᶜ)ᶜ = A. 
• De Morgan'sches Gesetz für die Vereinigung: Das Komplement der Vereinigung zweier Mengen ist gleich dem Schnitt ihrer Komplemente: (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ. 
• De Morgan'sches Gesetz für den Schnitt: Das Komplement des Schnitts zweier Mengen ist gleich der Vereinigung ihrer Komplemente: (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ.

Denken wir daran, dass in der Mengenlehre der Schnitt (∩) das Äquivalent zur Konjunktion (∧) und die Vereinigung (∪) das Äquivalent zur Disjunktion (∨) ist. 

Negation in Logikschaltungen

Im Bereich der digitalen Logik und Elektronik ist die logische Schaltung der Negation, auch als Inverter oder NOT-Gatter bekannt, eine grundlegende elektronische Schaltung, die die logische Negationsoperation auf ein Eingangssignal anwendet. Ihre Hauptfunktion besteht darin, den Wahrheitswert des Eingangssignals umzukehren, d.h., wenn der Eingang 1 ist (hoher Pegel), wird der Ausgang 0 sein (niedriger Pegel), und umgekehrt.

A (Eingang)	¬A (Ausgang)
1	0
0	1

Negation in der Informatik

Der logische Operator der Negation ist in der Informatik als NOT-Operator bekannt und spielt eine entscheidende Rolle bei der Erstellung von Algorithmen und der Datenmanipulation. Seine Hauptfunktion ist es, den Wahrheitswert eines booleschen Ausdrucks umzukehren.

Die logische Negation wird in den meisten Programmiersprachen als ! (Ausrufezeichen) oder not (Schlüsselwort) dargestellt. Dieser Operator wird vor den zu negierenden booleschen Ausdruck gesetzt.

Die logische Negation kann mit anderen logischen Operatoren kombiniert werden, um komplexere Ausdrücke zu bilden. Zum Beispiel:

• Negierte Konjunktion: not (P and Q) ist äquivalent zu not P or not Q.
• Negierte Disjunktion: not (P or Q) ist äquivalent zu not P and not Q.

Beachten Sie, dass das Verhalten des Operators durch die De Morgan'schen Gesetze geregelt wird.

Die logische Negation ist zusammen mit den anderen Operationen grundlegend für das Design und die Funktionsweise moderner Prozessoren. Sie wird in der ALU (Arithmetisch-logische Einheit) angewendet, die für die Durchführung arithmetischer Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zuständig ist. Sie wird auch in anderen internen Komponenten für bedingte Entscheidungen und die Flusskontrolle in Programmen und Betriebssystemen verwendet.