Kontradiktion in der mathematischen Logik

In der Aussagenlogik ist eine Kontradiktion eine zusammengesetzte Aussage, die unabhängig von den Wahrheitswerten der einfachen Teilaussagen, aus denen sie besteht, immer falsch ist.

Eine Kontradiktion beschreibt ein Szenario, in dem zwei oder mehr Behauptungen im selben Kontext nicht gleichzeitig wahr sein können, zum Beispiel: „Es ist kalt und es ist nicht kalt“. Dieser Satz drückt einen offensichtlichen logischen Widerspruch aus, da er behauptet, dass etwas gleichzeitig der Fall ist und nicht der Fall ist.

Logische Kontradiktionen sind in der mathematischen Logik von grundlegender Bedeutung, da sie unter anderem ermöglichen, ungültige Argumente zu identifizieren: Wenn ein Argument zu einem Widerspruch führt, erweist es sich als ungültig, unabhängig vom Wahrheitswert seiner Prämissen.

Wahrheitstafel einer Kontradiktion

Um zu überprüfen, ob eine Aussage eine Kontradiktion ist, können wir eine Wahrheitstafel erstellen. Wenn die Spalte der Aussage für alle Interpretationen der Variablen falsch ist, dann handelt es sich um eine Kontradiktion.

Zum Beispiel ist die folgende Tabelle die Wahrheitstafel der Aussage p ∧ ¬p:

p	¬p	p ∧ ¬p
W	F	F
F	W	F

Wir stellen fest, dass die zusammengesetzte Aussage p ∧ ¬p in beiden Zeilen falsch ist, unabhängig davon, ob p wahr oder falsch ist. Dies bedeutet, dass die zusammengesetzte Aussage eine Kontradiktion ist.

Kontradiktionen unterscheiden sich von Tautologien, die immer wahr sind, und von Kontingenzen, die in einigen Fällen wahr und in anderen falsch sind. Jede Kontradiktion ist die Verneinung einer Tautologie, und jede Tautologie ist die Verneinung einer Kontradiktion. 

Um die mit der Kontradiktion p ∧ ¬p verbundene Tautologie zu erhalten, genügt es, diese Aussage zu negieren. Somit ist die Aussage ¬(p ∧ ¬p) eine Tautologie oder ein logisches Gesetz, das als „Satz vom Widerspruch“ bekannt ist und besagt, dass eine Aussage nicht gleichzeitig wahr und falsch sein kann. Mittels eines De Morganschen Gesetzes kann ¬(p ∧ ¬p) als p ∨ ¬p geschrieben werden, was als „Satz vom ausgeschlossenen Dritten“ bekannt ist.

Beispiele

Im Folgenden sehen wir einige Beispiele für Kontradiktionen in der natürlichen Sprache und in der logischen Sprache, zusammen mit ihren Wahrheitstafeln.

Beispiel 1

Die folgenden Behauptungen in natürlicher Sprache sind widersprüchlich:

• "Die Zahl 2 ist gerade und ungerade".
• "Es ist Tag, aber es ist Nacht".
• "Ich habe Hunger und ich habe keinen Hunger."
• "Die Kiste ist offen und geschlossen".
• "Johann schläft und ist wach".

Alle diese Beispiele entsprechen der Aussage p ∧ ¬p, deren Wahrheitstafel oben gezeigt wird.

Beispiel 2

Die Aussage p ↔ ¬p ist eine Kontradiktion. Nachfolgend ihre Wahrheitstafel:

p	¬p	p ↔ ¬p
W	F	F
F	W	F

Beispiel 3

Die Aussage (p ∨ q) ∧ ¬(p ∨ q) ist widersprüchlich:

p	q	p ∨ q	¬(p ∨ q)	(p ∨ q) ∧ ¬(p ∨ q)
W	W	W	F	F
W	F	W	F	F
F	W	W	F	F
F	F	F	W	F

Beispiel 4

Die zusammengesetzte Aussage ¬(p ∧ q → p) ist eine Kontradiktion.

p	q	p ∧ q	p ∧ q → p	¬(p ∧ q → p)
W	W	W	W	F
W	F	F	W	F
F	W	F	W	F
F	F	F	W	F

Weitere Beispiele

• (p ∧ q) ∧ (r ∧¬p)
• ¬(p ∨ ¬p)
• Die Verneinung eines beliebigen logischen Gesetzes führt zu einer Kontradiktion.

Widerspruchsbeweise

Kontradiktionen spielen auch eine wichtige Rolle bei mathematischen Beweisen. Widerspruchsbeweise, auch als indirekte Beweise oder reductio ad absurdum bekannt, bestehen darin, das Gegenteil dessen anzunehmen, was bewiesen werden soll, und zu zeigen, dass diese Annahme zu einem logischen Widerspruch führt. Wenn man zu diesem Widerspruch gelangt, wird gefolgert, dass die ursprüngliche Aussage wahr sein muss.

Mit anderen Worten, man nimmt an, dass die Aussage falsch ist, und leitet aus dieser Annahme eine Reihe logischer Konsequenzen ab, die schließlich zu einem Widerspruch mit einer bekannten Tatsache oder einer bereits bewiesenen Aussage führen. Indem man zu diesem Widerspruch gelangt, wird die ursprüngliche Annahme, dass die Aussage falsch war, widerlegt, was bedeutet, dass sie wahr sein muss.

Beispiel: Es soll bewiesen werden, dass die Summe zweier gerader Zahlen wieder eine gerade Zahl ist.

Zunächst nehmen wir an, diese Behauptung sei falsch, das heißt: Die Summe zweier gerader Zahlen ist keine gerade, sondern eine ungerade Zahl. Erinnern wir uns daran, dass eine gerade Zahl als 2k ausgedrückt werden kann, wobei k eine ganze Zahl ist.

Definieren wir zwei gerade Zahlen a und b. Gemäß dem oben Gesagten gilt a = 2m und b = 2n, wobei m und n ganze Zahlen sind. Wir addieren nun a und b:

a+b = 2m+2n

Durch Ausklammern von 2 erhalten wir:

a+b = 2(m+n)

Nun ist m+n eine ganze Zahl, da es die Summe zweier ganzer Zahlen ist. Daher ist der Ausdruck 2(m+n) eine gerade Zahl, und da a+b=2(m+n) ist, folgt, dass a+b eine gerade Zahl ist. Dies widerspricht unserer ursprünglichen Annahme, dass a+b eine ungerade Zahl ist. 

Da unsere ursprüngliche Annahme zu einem Widerspruch führt, müssen wir schlussfolgern, dass diese Annahme falsch ist. Folglich ist die ursprüngliche Behauptung wahr: Die Summe zweier gerader Zahlen ist gerade.